Disco empujando una placa (Ene. 2019)

Enunciado

Un disco homogéneo de radio $R$ y masa $m$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje fijo $OX_{1}$. El disco empuja una placa homogénea cuadrada (sólido "0") de masa $m$ y lados $2h$. La placa desliza sobre el mismo eje fijo. El contacto en el punto $B$ es liso. Sobre el disco actúa un par de fuerzas ${\vec {\tau }}=-\tau _{0}t/T\,{\vec {k}}$, siendo $\tau _{0}$ y $T$ constantes con dimensiones de momento de fuerza y tiempo, respectivamente. En el instante inicial el centro del disco estaba sobre el eje $OY_{1}$. El disco y la placa mantienen siempre el contacto. El contacto entre la placa y el suelo es liso. Se cumple $R>h$.

1. Escribe la reducción cinemática de los movimientos {21} y {01}.
2. Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido.
3. Aplicando los teoremas fundamentales de la Dinámica Vectorial, encuentra las aceleraciones de los centros de masas de los dos sólidos.
4. Encuentra el valor de todas las fuerzas que actúan sobre los sólidos. ¿En que instante de tiempo la base de la placa empieza a separarse del suelo?

Solución

Reducciones cinemáticas

Los dos sólido hacen un movimiento plano. La placa realiza una traslación, por lo que ${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}$. Sólo conocemos a priori la dirección de la velocidad de traslación, por lo que la llamamos ${\vec {v}}_{01}=v\,{\vec {\imath }}$.

El disco realiza una rodadura sin deslizamiento. Observando la figura podemos deducir lo siguiente

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {0}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,G_{2}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Usando el Teorema de Chasles tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,G_{2}}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}_{2}={\vec {0}}+(-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=R{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Comparando obtenemos la condición del vinculo interligado impuesto por la rodadura sin deslizamiento

${\dot {\theta }}={\dot {x}}/R\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {\dot {x}}{R}}\,{\vec {k}}.$

Hay un vínculo prohibitivo entre los dos sólido en el punto $B$. La velocidad relativa entre ellos debe ser paralela la la placa, para que los sólidos no se interpenetren. Es decir

${\vec {v}}_{20}^{\,B}\parallel {\vec {\jmath }}_{1}.$

Aplicando las leyes de composición

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{20}^{\,B}&={\vec {v}}_{21}^{\,B}-{\vec {v}}_{01}^{\,B}=({\dot {x}}-v)\,{\vec {\imath }}_{1}-{\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\&{\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,G_{2}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {G_{2}B}}=-{\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\&{\vec {v}}_{01}^{\,B}=v\,{\vec {\imath }}_{1}.\end{array}}$

La componente en ${\vec {\imath }}_{1}$ de ${\vec {v}}_{20}^{\,B}$ debe ser nula, es decir

$v={\dot {x}}.$

La reducciones cinemáticas son

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G_{2}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1},&{\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {\dot {x}}{R}}\,{\vec {k}},\\&\\{\vec {v}}_{01}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1},&{\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}.\end{array}}$

El valor de ${\vec {v}}_{01}$ podía haberse obtenido directamente de la figura, observando que el centro del disco está siempre en la misma posición relativa a los puntos de la placa, por lo que sus velocidades absolutas son iguales.

Fuerzas y pares

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido. El contacto entre la placa y el suelo es liso, pero entre el disco y el suelo tiene que ser rugoso, pues en caso contrario no podría haber rodadura sin deslizamiento.

Las fuerzas que actúan sobre la placa son

${\begin{array}{lr}{\vec {P}}_{0}=-mg\,{\vec {\jmath }}_{1}&(G_{0})\\{\vec {B}}_{02}=B\,{\vec {\imath }}_{1}&(B)\\{\vec {E}}_{01}=E\,{\vec {\jmath }}_{1}&(E)\end{array}}$

La fuerza ${\vec {E}}_{01}$ es la fuerza equivalente al sistema de fuerzas paralelas que ejerce el suelo sobre el lado inferior de la placa. La posición del punto $E$ introduce una incógnita: $\delta$.

Las fuerzas y pares sobre el disco son

${\begin{array}{lr}{\vec {P}}_{2}=-mg\,{\vec {\jmath }}_{1}&(G_{2})\\{\vec {\tau }}=-(\tau _{0}t/T)\,{\vec {k}}&\\{\vec {B}}_{20}=-B\,{\vec {\imath }}_{1}&(B)\\{\vec {A}}_{21}=A\,{\vec {\jmath }}_{1}&(A)\\{\vec {A}}_{20}^{R}=A_{R}\,{\vec {\imath }}_{1}&(A)\end{array}}$

La fuerza de rozamiento empuja hacia la derecha. Es esta fuerza la que hace avanzar el disco.

El problema tiene una incógnita asociada al movimiento y cinco asociadas a la desvinculación: $\{x,B,A,A_{R},E,\delta \}$.

Aceleración de los centros de masa

Aplicand los Teoremas Fundamentales de la Dinámica Vectorial, y al ser un movimiento plano, obtenemos tres ecuaciones por cada sólido.

T.C.M.

La aceleración del CM del disco es

${\vec {a}}_{21}^{G_{2}}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{G_{2}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

El T.C.M. nos da dos ecuaciones

$m{\vec {a}}_{21}^{G_{2}}={\vec {P}}_{2}+{\vec {B}}_{20}+{\vec {A}}_{21}+{\vec {A}}_{21}^{R}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}(X_{1})&\to &m{\ddot {x}}=A_{R}-B&(1)\\(Y_{1})&\to &0=-mg+A&(2)\end{array}}\right.$

Para el sólido "0" tenemos

${\vec {a}}_{01}^{G_{0}}={\vec {a}}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Aplicando el T.C.M.

$m{\vec {a}}_{01}={\vec {P}}_{0}+{\vec {B}}_{02}+{\vec {E}}_{01}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}(X_{1})&\to &m{\ddot {x}}=B&(3)\\(Y_{1})&\to &0=-mg+E&(4)\end{array}}\right.$

T.M.C.

El momento cinético del disco respecto a su CM es

${\vec {L}}_{G_{2}}=I{\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {mR^{2}}{2}}{\dfrac {\dot {x}}{R}}\,{\vec {k}}=-{\dfrac {mR}{2}}{\dot {x}}\,{\vec {k}}$

La derivada respecto del tiempo es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G_{2}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-{\dfrac {mR}{2}}{\ddot {x}}\,{\vec {k}}$

La única fuerza que crea momento respecto a $G_{2}$ es la fuerza de rozamiento. El T.M.C. nos da

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G_{2}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {\tau }}+{\overrightarrow {G_{2}A}}\times {\vec {A}}_{21}^{R}\longrightarrow -{\dfrac {mR}{2}}{\ddot {x}}=-{\dfrac {\tau _{0}t}{T}}+A_{R}R\qquad (5)$

La placa no rota, por lo que su momento cinético respecto al centro de masas es nulo y su derivada también. Aplicando el T.M.C. en su CM obtenemos

${\vec {0}}={\overrightarrow {G_{0}B}}\times {\vec {B}}_{02}+{\overrightarrow {G_{0}E}}\times {\vec {E}}_{01}$

Para calcular los momentos lo mas sencillo es recordar que las fuerzas que actúan sobre sólidos rígidos son vectores deslizantes. Por tanto, se pueden desplazar sobre sus rectas soporte como se indica en la figura. Tenemos entonces

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {G_{0}B}}\times {\vec {B}}_{02}=\left((R-h)\,{\vec {\jmath }}_{1}\right)\times (B\,{\vec {\imath }}_{1})=-(R-h)B\,{\vec {k}}\\{\overrightarrow {G_{0}E}}\times {\vec {E}}_{01}=\left(\delta \,{\vec {\imath }}_{1}\right)\times (E\,{\vec {\jmath }}_{1})=E\delta \,{\vec {k}}\end{array}}$

Por tanto, la ecuación que obtenemos es

$E\delta -(R-h)B=0\qquad (6)$

Ya tenemos las seis ecuaciones que necesitamos. Para obtener

${\ddot {x}}$

podemos hacer

$(1)+(3)-{\dfrac {1}{R}}(5)\Longrightarrow {\ddot {x}}={\dfrac {2\tau _{0}}{3mR}}{\dfrac {t}{T}}.$

Las aceleraciones de los CM de los sólidos son

${\vec {a}}_{21}^{G_{2}}={\vec {a}}_{01}={\dfrac {2\tau _{0}}{5mR}}{\dfrac {t}{T}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Momento en que se levanta la placa

Despejando en las otra ecuaciones obtenemos

${\begin{array}{l}{\vec {A}}_{21}=mg\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\\{\vec {A}}_{21}^{R}={\dfrac {4\tau _{0}}{5R}}{\dfrac {t}{T}}\,{\vec {k}},\\\\{\vec {B}}_{02}=-{\vec {B}}_{20}={\dfrac {2\tau _{0}}{5R}}{\dfrac {t}{T}}\,{\vec {\imath }}_{1},\\\\{\vec {E}}_{21}=mg\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\\\delta ={\dfrac {4\tau _{0}(R-h)}{5mgR}}{\dfrac {t}{T}}.\end{array}}$

La placa empieza a levantarse cuando el punto $E$ coincide con el $D$. En ese momento la reacción vincular del suelo es incapaz de compensar el par ejercido por el disco sobre la placa:

$\delta =h\Longrightarrow t_{V}=T{\dfrac {5mgR}{4\tau _{0}(R-h)}}.$

Es interesante observar que si $R=h$ este tiempo se hace infinito, y si es $R<h$ se hace negativo. Esto quiere decir que en estos casos la placa nunca empieza a volcar. Para que esto ocurra es necesario que se cumpla $R>h$.