Enunciado

Un cono con ángulo de abertura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/4} y radio de la base Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} permanece fijo sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . La base del cono permanece siempre perpendicular al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} . El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_0Z_0} contiene siempre a los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del cono. El sólido "0" rota alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{k}_{0,1}} .

  1. Localiza y dibuja los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Qué tipo de eje es cada uno de ellos?
  2. Calcula las reducciones cinemáticas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} de los tres movimientos relativos.
  3. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} de los tres movimientos relativos.

Solución

Análisis del enunciado

De los datos del enunciado podemos deducir los siguientes hechos:

  1. El cono rueda sin desliar sobre el plano, por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}} .
  2. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es fijo sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . Entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}} .
  3. Del dibujo vemos que el movimiento {01} es un par de revolución con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}} .
  4. También relacionado con este movimiento vemos que el centro de la base del cono no se mueve respecto al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} , por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0}} .

Ejes de los movimientos

La figura de la derecha muestra la localización de los ejes. Son Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\omega}_{01}} , el eje del movimiento {01} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{EPR}_{01}\equiv OZ_1} . Es un eje permanente de rotación.

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}} tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{EIR}_{21}\equiv CA} . Es un eje instantáneo de rotación.

Por último, con la composición {21}={20} + {01}. Aplicándola en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} \Longrightarrow \vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{v}^{\,C}_{21} - \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0} }

Además, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{20}} , por lo que el eje del movimiento {20} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{EPR}_{20}} es un eje permanente de rotación.

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01} En el análisis previo ya hemos obtenido la reducción cinemática de este movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}. }

Movimiento {20} Del análisis de los ejes tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\imath}_{0}, \qquad \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}. }

Movimiento {21} Usando la composición {21} = {20} + {01} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega_{20}\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0.\\ \\ \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}= \vec{v}^{\,G}_{01} \end{array} }

Para calcular esta velocidad usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} = (\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0) = R\Omega\,\vec{\jmath}_0. }

Por otro lado sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}} . Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\omega_{20}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{k}_0) = -R\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0. }

Comparando los dos valores obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20} = -\Omega} .

Con esto tenemos las tres reducciones cinemáticas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0, & \vec{v}^{\,G}_{01}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{\omega}_{20} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0},\\ \\ \vec{\omega}_{21} = \Omega\,(-\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0), & \vec{v}^{\,G}_{21}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0. \end{array} }

Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas

Movimiento {01}: al ser una rotación de eje permanente tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1= \vec{0},\\ \\ \vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1= \vec{0}. \end{array} }

Usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} para calcular la aceleración en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) = -R\Omega^2\vec{\imath}_{0}. }

Movimiento {20}: también es una rotación de eje permanente, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0= \vec{0},\\ \\ \vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0= \vec{0}. \end{array} }

Movimiento {21} Utilizamos las leyes de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\Omega^2\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\Omega^2\,\vec{\imath}_0. \end{array} }
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