Enunciado

Un cono con ángulo de abertura y radio de la base se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice permanece fijo sobre el eje . La base del cono permanece siempre perpendicular al plano . El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano contiene siempre a los puntos , y del cono. El sólido "0" rota alrededor del eje con velocidad angular constante .

  1. Localiza y dibuja los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Qué tipo de eje es cada uno de ellos?
  2. Calcula las reducciones cinemáticas en de los tres movimientos relativos.
  3. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas en de los tres movimientos relativos.

Solución

Análisis del enunciado

De los datos del enunciado podemos deducir los siguientes hechos:

  1. El cono rueda sin desliar sobre el plano, por tanto .
  2. El punto es fijo sobre el eje . Entonces .
  3. Del dibujo vemos que el movimiento {01} es un par de revolución con y .
  4. También relacionado con este movimiento vemos que el centro de la base del cono no se mueve respecto al plano , por lo que .

Ejes de los movimientos

La figura de la derecha muestra la localización de los ejes. Son Como y , el eje del movimiento {01} es . Es un eje permanente de rotación.

Como tenemos . Es un eje instantáneo de rotación.

Por último, con la composición {21}={20} + {01}. Aplicándola en tenemos

Además, , por lo que el eje del movimiento {20} es es un eje permanente de rotación.

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01} En el análisis previo ya hemos obtenido la reducción cinemática de este movimiento

Movimiento {20} Del análisis de los ejes tenemos

Movimiento {21} Usando la composición {21} = {20} + {01} obtenemos

Para calcular esta velocidad usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

Por otro lado sabemos que . Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

Comparando los dos valores obtenemos .

Con esto tenemos las tres reducciones cinemáticas

Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas

Movimiento {01}: al ser una rotación de eje permanente tenemos

Usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} para calcular la aceleración en

Movimiento {20}: también es una rotación de eje permanente, por lo que

Movimiento {21} Utilizamos las leyes de composición