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Cono rotando con punto fijo (Nov. 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un cono con ángulo de abertura π / 4 y radio de la base R se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice C permanece fijo sobre el eje OZ1. La base del cono permanece siempre perpendicular al plano OX1Y1. El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano X0Z0 contiene siempre a los puntos A, B y C del cono. El sólido "0" rota alrededor del eje OZ1 con velocidad angular constante \vec{\Omega} =
\Omega\,\vec{k}_{0,1}.

  1. Localiza y dibuja los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Qué tipo de eje es cada uno de ellos?
  2. Calcula las reducciones cinemáticas en G de los tres movimientos relativos.
  3. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas en G de los tres movimientos relativos.

2 Solución

2.1 Análisis del enunciado

De los datos del enunciado podemos deducir los siguientes hechos:

  1. El cono rueda sin desliar sobre el plano, por tanto \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}.
  2. El punto C es fijo sobre el eje OZ1. Entonces \vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}.
  3. Del dibujo vemos que el movimiento {01} es un par de revolución con \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0} y \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}.
  4. También relacionado con este movimiento vemos que el centro de la base del cono no se mueve respecto al plano OX0Z0, por lo que \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0}.

2.2 Ejes de los movimientos

La figura de la derecha muestra la localización de los ejes. Son Como \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0} y \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\omega}_{01}, el eje del movimiento {01} es  \Delta^{EPR}_{01}\equiv OZ_1. Es un eje permanente de rotación.

Como \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0} tenemos \Delta^{EIR}_{21}\equiv CA. Es un eje instantáneo de rotación.

Por último, con la composición {21}={20} + {01}. Aplicándola en C tenemos


\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{v}^{\,C}_{21} - \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}

Además, \vec{v}^{\,G}_{20}, por lo que el eje del movimiento {20} es \Delta^{EPR}_{20} es un eje permanente de rotación.

2.3 Reducciones cinemáticas

Movimiento {01} En el análisis previo ya hemos obtenido la reducción cinemática de este movimiento


\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1},
\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.

Movimiento {20} Del análisis de los ejes tenemos


\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\imath}_{0},
\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.

Movimiento {21} Usando la composición {21} = {20} + {01} obtenemos


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
\omega_{20}\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0.\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}=
 \vec{v}^{\,G}_{01}
\end{array}

Para calcular esta velocidad usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}


\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} =
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0) = R\Omega\,\vec{\jmath}_0.

Por otro lado sabemos que \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}. Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos


\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
(\omega_{20}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{k}_0) = -R\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0.

Comparando los dos valores obtenemos ω20 = − Ω.

Con esto tenemos las tres reducciones cinemáticas


\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0, & \vec{v}^{\,G}_{01}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{\omega}_{20} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0},\\
\\
\vec{\omega}_{21} = \Omega\,(-\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0), & \vec{v}^{\,G}_{21}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

2.4 Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas

Movimiento {01}: al ser una rotación de eje permanente tenemos


\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
\vec{0},\\
\\
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
\vec{0}.
\end{array}

Usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} para calcular la aceleración en G


\vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) = -R\Omega^2\vec{\imath}_{0}.

Movimiento {20}: también es una rotación de eje permanente, por lo que


\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=
\vec{0},\\
\\
\vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=
\vec{0}.
\end{array}

Movimiento {21} Utilizamos las leyes de composición


\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\Omega^2\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01}  + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\Omega^2\,\vec{\imath}_0.
\end{array}

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