Deslizadera y disco rodando sin deslizar (MR G.I.C.)

Enunciado

Un disco homogéneo (sólido "2") de masa $m$ y radio $R$ puede rotar alrededor de su centro $C$, que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa $m$ puede moverse a lo largo del eje $O_{1}Y_{1}$, de modo que en el punto de contacto $A$ el disco rueda sin deslizar sobre el sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $l_{0}$. El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje $O_{1}X_{1}$, de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura.

1. ¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
2. Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
3. Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
4. Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo ${\vec {\tau }}=\tau _{0}\cos(\omega t)\,{\vec {k}}_{1}$. Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de $\omega$ aparece una resonancia mecánica?
5. Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{0},{\hat {F}}_{0},0]_{1}$ sobre el punto $B$ del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple $s(0)=l_{0}$, $\theta (0)=0$, ${\dot {s}}(0^{-})=0$, ${\dot {\theta }}(0^{-})=0$. Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.

Solución

Reducciones cinemáticas y grados de libertad

Movimiento {01}

La deslizadera realiza un movimiento de traslación vertical. Tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{01}={\dot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1},&{\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}\\{\vec {a}}_{01}={\ddot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1},&{\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}\end{array}}$

No ponemos letras en la velocidad y aceleración pues es una traslación y son iguales en todos los puntos.

Movimiento {21}

El disco hace una rotación con su centro fijo. Tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {0}},&{\vec {\omega }}_{01}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\{\vec {a}}_{21}^{\,C}={\vec {0}},&{\vec {\alpha }}_{21}=-{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}$

Movimiento {20}

Usamos las reglas de composición

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\{\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}-{\vec {\alpha }}_{01}-{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,C}-{\vec {v}}_{01}^{\,C}=-{\dot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {a}}_{20}^{\,C}={\vec {a}}_{21}^{\,C}-{\vec {a}}_{01}^{\,C}-2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,C}=-{\ddot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\end{array}}$

Grados de libertad

La condición de rodadura sin deslizamiento impone una ligadura entre $s$ y $\theta$

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}}=(-{\dot {s}}+R{\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{1}={\vec {0}}\Longrightarrow {\dot {s}}=R{\dot {\theta }}$

Es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Elegiremos $\{s\}$ para describir el movimiento.

Energía cinética y potencial

La energía cinética total es la suma de la energía cinética de cada sólido

$T=T_{0}+T_{2}$

La deslizadera tiene sólo energía cinética de traslación

$T_{0}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{01}|^{2}={\dfrac {1}{2}}m{\dot {s}}^{2}$

El disco tiene sólo energía cinética de rotación

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}I_{C}|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}={\dfrac {1}{4}}mR^{2}{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{4}}m{\dot {s}}^{2}$

La energía cinética total es

$T=T_{0}+T_{2}={\dfrac {3}{4}}m{\dot {s}}^{2}$

La deslizadera tiene energía potencial y elástica. El centro del masas del disco no cambia su altura, por lo que su energía potencial gravitatoria es constante y no afecta a la dinámica del sistema. Podemos ignorarla. Tenemos

${\begin{array}{l}U_{0g}=mgs\\U_{0k}={\dfrac {1}{2}}k(s-l_{0})^{2}\\U=U_{0g}+U_{0k}=mgs+{\dfrac {1}{2}}k(s-l_{0})^{2}\end{array}}$

Lagrangiana y ecuaciones de Euler

La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {3}{4}}m{\dot {s}}^{2}-mgs-{\dfrac {1}{2}}k(s-l_{0})^{2}$

La ecuación de Euler para $s$ es

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial s}}=0$

Haciendo las derivadas obtenemos

${\dfrac {3}{2}}m{\ddot {s}}+k(s-l_{0})+mg=0$

Podemos reordenar la ecuación

${\ddot {s}}=-{\dfrac {2k}{3m}}s-{\dfrac {2}{3}}g+{\dfrac {2kl_{0}}{3m}}$

Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular y período

$\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2k}{3m}}},\qquad \tau ={\dfrac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {\dfrac {3m}{2k}}}$

La posición de equilibrio se obtiene imponiendo ${\ddot {s}}=0$

$s_{eq}=l_{0}-{\dfrac {mg}{2k}}$

Aplicación de un par de fuerzas externo ${\vec {\tau }}=\tau _{0}\cos(\omega t)\,{\vec {k}}_{1}$

El par de fuerzas externo introduce una fuerza generalizada no conservativa en la ecuación de Euler

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial s}}=Q_{s}^{NC}$

El lado izquierdo de la ecuación queda igual que antes. Calculamos la fuerza generalizada

$Q_{s}^{NC}={\vec {\tau }}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {\omega }}_{21}}{\partial {\dot {s}}}}=-{\dfrac {\tau _{0}}{R}}\cos(\omega t)$

La ecuación del movimiento es

${\ddot {s}}+{\dfrac {2k}{3m}}s+{\dfrac {2}{3}}g.{\dfrac {2kl_{0}}{3m}}=-{\dfrac {2\tau _{0}}{3mR}}\cos(\omega t)$

Es la ecuación de un oscilador forzado con un término de forzamiento dado por el par de fuerzas y de frecuencia $\omega$. La resonancia mecánica aparece cuando esta frecuencia se acerca a la frecuencia natural del oscilador calculada antes

$\omega \simeq \omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2k}{3m}}}$

Percusión

Ahora, sin par de fuerzas externo, se aplica una percusión en $B$ de forma

${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{0},{\hat {F}}_{0},0]_{1}$

La ecuación de Lagrange percusiva es

$\Delta p_{s}={\hat {Q}}_{s}^{NC}$

El momento generalizado es

$p_{s}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}={\dfrac {3}{2}}m{\dot {s}}$

Entonces

$\Delta p_{s}={\dfrac {3}{2}}m({\dot {s}}(0^{+})-{\dot {s}}(0^{-}))={\dfrac {3}{2}}ms(0^{+})$

La percusión generalizada es

${\hat {Q}}_{s}^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,B}}{\partial {\dot {s}}}}$

La velocidad absoluta en $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CB}}=-{\dot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

La percusión generalizada es

${\hat {Q}}_{s}^{NC}=-{\hat {F}}_{0}$

La velocidad generalizada justo después de la percusión es

${\dot {s}}(0^{+})=-{\dfrac {2{\hat {F}}_{0}}{3m}}$