Casos particulares de cinemática de la partícula (CMR)
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El movimiento de una partícula se dice uniforme cuando su rapidez es constante duante un cierto intervalo de tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{v}\right| = \mathrm{cte}\qquad\Leftrightarrow\qquad \mbox{mov. uniforme}}
Esta definición es equivalente a que:
La aceleración tangencial es nula durante todo ese intervalo.
La aceleración es ortogonal a la velocidad en ese periodo de tiempo
Movimiento rectilíneo
Un movimiento es rectilíneo en un intervalo de tiempo cuando su trayectoria en dicho intervalo es una recta. Esto ocurre si el vector tangente mantiene la misma dirección
para ser precisos, puede invertir su sentido en instantes concretos, como ocurre en un movimiento armónico simple.
Esta condición equivale a que
La aceleración normal es nula en dicho intervalo
La aceleración es paralela a la velocidad
La curvatura de la trayectoria es nula
El radio de curvatura tiende a infinito.
Una manera de identificar un movimiento rectilíneo es comprobar si su ecuación horaria es de la forma
con y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
vectores constantes.
Si el movimiento es rectilíneo y uniforme, la velocidad de la partícula es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc}|\vec{v}|&=&\mathrm{cte} \\ \vec{T}&=&\mathrm{cte}\end{array}\right.\qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}=\mathrm{cte}}
o, dicho de otra forma, si la aceleración tangencial y la normal son ambas nulas, el vector aceleración es nulo.
Movimiento plano
Movimiento plano de una partícula es aquel que en todo momento de un intervalo se encuentra contenido en un plano. Si A es un punto de este plano y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
es un vector normal a él, debe cumplirse la ecuación vectorial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}\cdot\overrightarrow{AP}=0}
o, empleando los vectores de posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}\cdot\vec{r}=\vec{B}\cdot\vec{r}_A=k=\mathrm{cte}}
Una condición equivale consiste en establecer que la velocidad y la aceleración están siempre contenidas en el mismo plano (ortogonal a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
). Puesto que la velocidad es paralela al vector tangente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}}
y la aceleración está contenida en el plano definido por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}}
, el plano que contiene a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}}
es el ortogonal a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
, el vector binormal. Por tanto, una condición alternativa de movimiento plano es que el vector binormal sea constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|} = \mathrm{cte}}
Equivalentemente, para que esto se cumpla en todo momento, la derivada temporal de la aceleración también debe ser coplanaria. Esto se expresa matemáticamente con la anulación del producto mixto de los tres vectores
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=\left(\vec{v}\times\vec{a}\right)\cdot\dot{\vec{a}}=\left|\begin{matrix} v_x & v_y & v_z \\ a_x & a_y & a_z \\ \dot{a}_x & \dot{a}_y & \dot{a}_z\end{matrix}\right|}
Alternativamente, un movimiento es plano si puede escribirse en la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t)=\vec{A}+f(t)\vec{V}_1+g(t)\vec{V}_2}
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_2}
vectores constantes.
Movimiento circular
Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica que
El movimiento es plano: Existe un vector constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
tal que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0\qquad\forall t}
El radio de curvatura permanece constante:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\mathrm{cte}\qquad\forall t}
Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:
El centro de curvatura permanece constante:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}=\vec{r}+\frac{|\vec{v}|^2}{a_n^2}\vec{a}_n=\mathrm{cte}}
Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.
Velocidad angular
En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{r}-\vec{r}_c\right| = R}
en el caso particular de un movimiento circular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c}
son constantes, por lo que si elevamos al cuadrado esta expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{r}-\vec{r}_c\right|^2 = (\vec{r}-\vec{r}_c)\cdot(\vec{r}-\vec{r}_c)=R^2}
y derivamos respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(R^2) = 2\vec{v}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_c)}
esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como
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donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}}
es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).
La velocidad angular posee dimensiones de 1/tiempo, con lo que en el sistema internacional se mide en s-1 o rad/s.
Aceleración angular
Derivando en la expresión anterior para la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)+\vec{\omega}\times\vec{v}=\vec{\alpha}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)\right)}
El vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}}
es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son rad/s².
Movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = v_0=\mathrm{cte}\qquad \Leftrightarrow \qquad \vec{a}_t=\vec{0}}
En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está cambiado. La aceleración es puramente normal
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lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de módulo constante se cumple
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En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\frac{v_0}{R}\vec{B}}
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}
el vector normal al plano de la circunferencia. La aceleración angular es nula
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La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como
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Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el tiempo necesario para dar una vuelta completa
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Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia natural
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f = \frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}}
Movimiento en el plano XY
Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente
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La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a
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siendo la ley horaria
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La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=R\dot{\theta}\vec{u}_\theta = R\dot{\theta}\left(-\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}\right)}
siendo la rapidez y el vector tangente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = R|\dot{\theta}|}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\pm \vec{u}_\theta}
El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo, el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.
La distancia medida sobre la curva
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}= R\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = s_0+R\theta\,}
La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla vectorialmente por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}}
resulta la velocidad. Esto da
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La aceleración de la partícula es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=-R\dot{\theta}^2\vec{u}_\rho + R\ddot{\theta}\vec{u}_\theta}
con componentes intrínsecas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = R\ddot{\theta}\vec{T}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n=R\dot{\theta}^2\vec{N}}
con el vector normal
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Por último, la aceleración angular viene dada por
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Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a
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con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega}
constante.
