Casos particulares de cinemática de la partícula (CMR)

Movimiento uniforme

El movimiento de una partícula se dice uniforme cuando su rapidez es constante duante un cierto intervalo de tiempo

$\left|{\vec {v}}\right|=\mathrm {cte} \qquad \Leftrightarrow \qquad {\mbox{mov. uniforme}}$

Esta definición es equivalente a que:

• La aceleración tangencial es nula durante todo ese intervalo.
• La aceleración es ortogonal a la velocidad en ese periodo de tiempo

${\vec {a}}\cdot {\vec {v}}=0\qquad \forall t$

Movimiento rectilíneo

Un movimiento es rectilíneo en un intervalo de tiempo cuando su trayectoria en dicho intervalo es una recta. Esto ocurre si el vector tangente mantiene la misma dirección

${\vec {T}}=\mathrm {cte.}$

para ser precisos, puede invertir su sentido en instantes concretos, como ocurre en un movimiento armónico simple.

Esta condición equivale a que

• La aceleración normal es nula en dicho intervalo
• La aceleración es paralela a la velocidad

${\vec {a}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}\qquad \qquad \forall t$

• La curvatura de la trayectoria es nula

$\kappa =0\qquad \qquad \forall t$

• El radio de curvatura tiende a infinito.

Una manera de identificar un movimiento rectilíneo es comprobar si su ecuación horaria es de la forma

${\vec {r}}(t)={\vec {A}}+f(t){\vec {B}}$

con ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ vectores constantes.

Si el movimiento es rectilíneo y uniforme, la velocidad de la partícula es constante

$\left\{{\begin{array}{rlc}|{\vec {v}}|&=&\mathrm {cte} \\{\vec {T}}&=&\mathrm {cte} \end{array}}\right.\qquad \Leftrightarrow \qquad {\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\vec {T}}=\mathrm {cte}$

o, dicho de otra forma, si la aceleración tangencial y la normal son ambas nulas, el vector aceleración es nulo.

Movimiento plano

Movimiento plano de una partícula es aquel que en todo momento de un intervalo se encuentra contenido en un plano. Si A es un punto de este plano y ${\vec {B}}$ es un vector normal a él, debe cumplirse la ecuación vectorial

${\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {AP}}=0$

o, empleando los vectores de posición

${\vec {B}}\cdot {\vec {r}}={\vec {B}}\cdot {\vec {r}}_{A}=k=\mathrm {cte}$

Una condición equivale consiste en establecer que la velocidad y la aceleración están siempre contenidas en el mismo plano (ortogonal a ${\vec {B}}$). Puesto que la velocidad es paralela al vector tangente ${\vec {T}}$ y la aceleración está contenida en el plano definido por ${\vec {T}}$ y ${\vec {N}}$, el plano que contiene a ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$ es el ortogonal a ${\vec {B}}$, el vector binormal. Por tanto, una condición alternativa de movimiento plano es que el vector binormal sea constante

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}=\mathrm {cte}$

Equivalentemente, para que esto se cumpla en todo momento, la derivada temporal de la aceleración también debe ser coplanaria. Esto se expresa matemáticamente con la anulación del producto mixto de los tres vectores

$0=\left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\cdot {\dot {\vec {a}}}=\left|{\begin{matrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\{\dot {a}}_{x}&{\dot {a}}_{y}&{\dot {a}}_{z}\end{matrix}}\right|$

Alternativamente, un movimiento es plano si puede escribirse en la forma

${\vec {r}}(t)={\vec {A}}+f(t){\vec {V}}_{1}+g(t){\vec {V}}_{2}$

con ${\vec {A}}$, ${\vec {V}}_{1}$ y ${\vec {V}}_{2}$ vectores constantes.

Movimiento circular

Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica que

• El movimiento es plano: Existe un vector constante ${\vec {B}}$ tal que

${\vec {B}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0\qquad \forall t$

• El radio de curvatura permanece constante:

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{n}}}=\mathrm {cte} \qquad \forall t$

Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:

• El centro de curvatura permanece constante:

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}={\vec {r}}+{\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{n}^{2}}}{\vec {a}}_{n}=\mathrm {cte}$

Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.

Velocidad angular

En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que

$\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right|=R$

en el caso particular de un movimiento circular $R$ y ${\vec {r}}_{c}$ son constantes, por lo que si elevamos al cuadrado esta expresión

$\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right|^{2}=({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})=R^{2}$

y derivamos respecto al tiempo

$0={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(R^{2})=2{\vec {v}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right)$

donde ${\vec {\omega }}$ es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).

La velocidad angular posee dimensiones de 1/tiempo, con lo que en el sistema internacional se mide en s^-1 o rad/s.

Aceleración angular

Derivando en la expresión anterior para la velocidad

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right)+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}={\vec {\alpha }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right)+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right)\right)$

El vector

${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}$

es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son rad/s².

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante

$v=v_{0}=\mathrm {cte} \qquad \Leftrightarrow \qquad {\vec {a}}_{t}={\vec {0}}$

En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está cambiado. La aceleración es puramente normal

${\vec {a}}={\vec {a}}_{n}={\frac {v_{0}^{2}}{R}}{\vec {N}}$

lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de módulo constante se cumple

${\vec {a}}={\frac {v_{0}^{2}}{R^{2}}}R{\vec {N}}=-{\frac {v_{0}^{2}}{R^{2}}}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante

${\vec {\omega }}={\frac {v_{0}}{R}}{\vec {B}}$

siendo ${\vec {B}}$ el vector normal al plano de la circunferencia. La aceleración angular es nula

${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$

La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como

${\vec {a}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}))=-\omega ^{2}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el tiempo necesario para dar una vuelta completa

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia natural

$f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$

Movimiento en el plano XY

Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente

$\rho =R\,$

La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a

${\vec {r}}=R{\vec {u}}_{\rho }=R\cos(\theta ){\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}$

siendo la ley horaria

$\theta =\theta (t)\,$

La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,

${\vec {v}}=R{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }=R{\dot {\theta }}\left(-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\right)$

siendo la rapidez y el vector tangente

$|{\vec {v}}|=R|{\dot {\theta }}|$    ${\vec {T}}=\pm {\vec {u}}_{\theta }$

El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo, el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.

La distancia medida sobre la curva

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=R{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$ ⇒  $s=s_{0}+R\theta \,$

La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla vectorialmente por ${\vec {r}}$ resulta la velocidad. Esto da

${\vec {\omega }}={\dot {\theta }}{\vec {k}}$

La aceleración de la partícula es

${\vec {a}}=-R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {u}}_{\rho }+R{\ddot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }$

con componentes intrínsecas

${\vec {a}}_{t}=R{\ddot {\theta }}{\vec {T}}$    ${\vec {a}}_{n}=R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {N}}$

con el vector normal

${\vec {N}}=-{\vec {u}}_{\rho }=-{\frac {\vec {r}}{R}}$

Por último, la aceleración angular viene dada por

${\vec {\alpha }}={\ddot {\theta }}{\vec {k}}$

Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a

$\theta =\omega t+\theta _{0}\,$

con $\omega$ constante.