Partícula deslizando sobre disco con muelle (Ene. 2021 G.I.C.)
Enunciado
Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10m_0} desliza sin rozamiento sobre un semidisco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y se le imparte una velocidad horizontal de rapidez , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} un número real positivo. La masa está conectada a un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=25m_0g/R} y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está conectado al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} que se mueve de modo que el muelle permanece siempre horizontal.
- Escribe los vectores de la base cartesiana en la base polar.
- Escribe la expresión de la fuerza ejercida por el muelle sobre la masa en la base polara.
- Escribe la expersión que da la velocidad de la partícula para el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\beta} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\beta=3/5} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\beta=4/5} .
- ¿Que condición debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} para que la partícula se separe del disco en ese ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} ?
Solución
Vectores cartesianos en la base polar
Observando los vectores de la base indicados en la figura del enunciado tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_r - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta},\\ \vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta}. \end{array} }
Fuerza ejercida por el muelle
Dado que tiene longitud natural nula la fuerza ejercida por el muelle puede escribirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{BC}. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC} = \overline{BC}\,\vec{\imath} = R\cos\theta\,\vec{\imath}. }
Utilizando la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}} del apartado anterior tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k = -kR\cos^2\theta\,\vec{u}_r + kR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{u}_{\theta} = -25m_0g\cos^2\theta\,\vec{u}_r + 25m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}. }
Expresión de la velocidad de la partícula
Como el vínculo es liso, las únicas fuerzas que hacen trabajo son las debidas a la gravedad y al muelle, que son conservativas. Por tanto la energía mecánica se conserva. En el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_A = \dfrac{1}{2}mv_A^2 + mgR = 5m_0gR\lambda^2 + 10m_0gR. }
Hemos escogido como altura de referencia para la energía potencial la de la base del semidisco. Para el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\mathrm{sen}\,\beta + \dfrac{1}{2}k(R\cos\beta)^2 = 5m_0v_{\beta}^2 + 14m_0gR. = }
Evaluando para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\beta} e igualando las dos expresiones obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{\beta} = \sqrt{\dfrac{gR}{5}}\,\sqrt{5\lambda^2-4} }
Condición para que la partícula se separe de la superficie
Cuando la partícula se separa la normal que ejerce la superficie sobre ella se anula, pues ya no es necesaria para que la partícula no penetre en el disco. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son, en la base polar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath} = -10m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r - 10m_0g\cos\theta\,\vec{u}_{\theta},\\ \vec{N} = N\,\vec{u}_r,\\ \vec{F}_k = -25m_0g\cos^2\theta\,\vec{u}_r + 25m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}. \end{array} }
La aceleración de la partícula es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}. }
A partir de la Segunda Ley de Newton obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_k \to \left\{ \begin{array}{lr} -10m_0R\dot{\theta}^2 = -10m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta - 25m_0g\cos^2\theta + N, & (1)\\ 10m_0\ddot{\theta} = -10m_0g\cos\theta + 25m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta. & (2) \end{array} \right. }
De la primera ecuación obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = -10m_0R\dot{\theta}^2 + 10m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta + 25m_0g\cos^2\theta. }
La velocidad de la partícula es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}, }
por lo que la normal puede escribirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = -10m_0\dfrac{v^2}{R} + 10m_0g\,\mathrm{sen}\,\theta + 25m_0g\cos^2\theta. }
Imponiendo que sea cero cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\beta} obtenemos la condición
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