Masa en plano inclinado con muelle (Nov. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem- pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa como se indica en el dibujo.

1. Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
2. Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que $mg={\sqrt {2}}kL$, ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?

Solución

Fuerzas sobre la masa

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es

${\begin{array}{l}{\vec {P}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}mg\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}mg\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {OA}}=-kx\,{\vec {\imath }},\\\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {F}}_{R}=f\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse $N>0$.

Equilibrio sin rozamiento

Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es

${\vec {P}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclcl}X)&\to &{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}mg-kx=0&\to &x={\dfrac {mg}{{\sqrt {2}}k}},\\\\Y)&\to &-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}mg+N=0&\to &N={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}mg.\end{array}}\right.$

Equilibrio con rozamiento

Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que $mg={\sqrt {2}}kL$, la condición de equilibrio es

${\vec {P}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcl}X)&\to &kL-kx+f=0,,\\Y)&\to &-kL+N=0.\end{array}}\right.$

De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer

${\vec {N}}=kL\,{\vec {\jmath }},\qquad \qquad {\vec {F}}_{R}=k(x-L)\,{\vec {\imath }}.$

Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {N}}|,$

siendo $\mu$ el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones

$x>L$

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es

$|{\vec {F}}_{R}|=k|x-L|=k(x-L)\leq \mu kL\Longrightarrow x\leq L\,(1+\mu ).$

$x<L$

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es

$|{\vec {F}}_{R}|=k|x-L|=k(L-x)\leq \mu kL\Longrightarrow x\geq L\,(1-\mu ).$

Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir

$x\in [L(1-\mu ),\,L(1+\mu )].$