Masa colgando de cuerda y muelle (Nov. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ cuelga de una cuerda de longitud $L$ y un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula, como se indica en la figura. El punto $B$ de anclaje del muelle está a una distancia $L$ del origen. Supondremos que la cuerda está tensa en todo momento.

1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa $m$ y el punto $A$. Muestra correctamente la dirección y sentido de todas las fuerzas.
2. Escribe la expresión del vector ${\overrightarrow {BA}}$
3. Suponiendo que $mg=kL$, ¿cuál es el valor de $\alpha$ para el que hay equilibrio mecánico?
4. Para la situación de la pregunta anterior, ¿cuánto vale la tensión en la cuerda que une los puntos $O$ y $A$?

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y el punto $A$. La fuerzas sobre la masa son su peso y la fuerza del trozo de cuerda entre ella y el punto $A$. Sobre el punto $A$ actúan la fuerza que ejerce el trozo de cuerda debajo de él, la que ejerce el trozo entre $O$ y $A$ y la del muelle.

Expresión del vector ${\overrightarrow {BA}}$

Este vector puede escribirse como

${\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}.$

Estos dos vectores son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }},\\{\overrightarrow {OB}}=L\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Entonces

${\overrightarrow {BA}}=L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,(\,\mathrm {sen} \,\alpha -1)\,{\vec {\jmath }}.$

Posición de equilibrio

Escribimos las fuerzas del diagrama en el sistema de ejes de la figura. Sobre la masa $m$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{m}=mg\,{\vec {\imath }},\\{\vec {T}}_{m}=-T_{m}\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Sobre el punto $A$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {T}}_{A}=-{\vec {T}}_{m}=T_{m}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {T}}_{O}=-T_{O}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}-T_{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {BA}}=-kL\cos \alpha \,{\vec {\imath }}-kL\,(\,\mathrm {sen} \,\alpha -1)\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Aplicamos la condición de equilibrio a cada cuerpo. Para la masa

${\vec {P}}_{m}+{\vec {T}}_{m}={\vec {0}}\Longrightarrow T_{m}=mg.\qquad \qquad (1)$

Para el punto $A$

${\vec {T}}_{A}+{\vec {T}}_{O}+{\vec {F}}_{k}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &T_{m}-T_{O}\cos \alpha -kL\cos \alpha =0,&(2)\\Y)&\to &-T_{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha -kL\,(\mathrm {sen} \,\alpha -1)=0.&(3)\end{array}}\right.$

Usando la condición dada por el enunciado, $mg=kL$, y la ecuación (1), las ecuaciones (2) y (3) quedan

${\begin{array}{lcl}(2)&\to &kL=(T_{O}+kL)\cos \alpha ,\\(3)&\to &kL=(T_{O}+kL)\,\mathrm {sen} \,\alpha .\end{array}}$

Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos

$\tan \alpha =1\Longrightarrow \alpha =\pi /4.$

Ahora sustituimos en (3) para obtener la tensión de la cuerda $T_{O}$

$T_{O}=kL\,({\sqrt {2}}-1).$