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Masa colgando de cuerda y muelle (Nov. 2018 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m cuelga de una cuerda de longitud L y un muelle de constante elástica k y longitud natural nula, como se indica en la figura. El punto B de anclaje del muelle está a una distancia L del origen. Supondremos que la cuerda está tensa en todo momento.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa m y el punto A. Muestra correctamente la dirección y sentido de todas las fuerzas.
  2. Escribe la expresión del vector \overrightarrow{BA}
  3. Suponiendo que mg = kL, ¿cuál es el valor de α para el que hay equilibrio mecánico?
  4. Para la situación de la pregunta anterior, ¿cuánto vale la tensión en la cuerda que une los puntos O y A?

2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y el punto A. La fuerzas sobre la masa son su peso y la fuerza del trozo de cuerda entre ella y el punto A. Sobre el punto A actúan la fuerza que ejerce el trozo de cuerda debajo de él, la que ejerce el trozo entre O y A y la del muelle.

2.2 Expresión del vector \overrightarrow{BA}

Este vector puede escribirse como


\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}.

Estos dos vectores son


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}, \\
\overrightarrow{OB} = L\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Entonces


\overrightarrow{BA} = L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,(\,\mathrm{sen}\,\alpha - 1)\,\vec{\jmath}.

2.3 Posición de equilibrio

Escribimos las fuerzas del diagrama en el sistema de ejes de la figura. Sobre la masa m tenemos


\begin{array}{l}
\vec{P}_m = mg\,\vec{\imath},\\
\vec{T}_m = -T_m\,\vec{\imath}.
\end{array}

Sobre el punto A tenemos


\begin{array}{l}
\vec{T}_A = - \vec{T}_m =  T_m\,\vec{\imath},\\
\vec{T}_O = -T_O\cos\alpha\,\vec{\imath} - T_O\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{BA} = -kL\cos\alpha\,\vec{\imath} - kL\,(\,\mathrm{sen}\,\alpha -1 )\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Aplicamos la condición de equilibrio a cada cuerpo. Para la masa


\vec{P}_m + \vec{T}_m = \vec{0} 
\Longrightarrow
T_m = mg.  \qquad\qquad (1)

Para el punto A


\vec{T}_A + \vec{T}_O + \vec{F}_k = \vec{0} 
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & T_m - T_O\cos\alpha - kL\cos\alpha = 0, & (2)\\
Y) & \to & - T_O\,\mathrm{sen}\,\alpha - kL\,(\mathrm{sen}\,\alpha -1) = 0.& (3) 
\end{array}
\right.

Usando la condición dada por el enunciado, mg = kL, y la ecuación (1), las ecuaciones (2) y (3) quedan


\begin{array}{lcl}
(2) & \to &kL = (T_O+kL)\cos\alpha,\\
(3) & \to &kL = (T_O+kL)\,\mathrm{sen}\,\alpha.
\end{array}

Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos


\tan\alpha = 1 
\Longrightarrow
\alpha = \pi/4.

Ahora sustituimos en (3) para obtener la tensión de la cuerda TO


T_O = kL\,(\sqrt{2}-1).

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