Barra con traslación y rotación (Nov. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Una barra de longitud $L$ se mueve de modo que su extremo $A$ se desplaza sobre el eje $OY$ con velocidad uniforme $v_{0}$ y el ángulo que forma la barra con el eje $OX$ es $\theta =\omega _{0}t$. En el instante inicial el punto $A$ estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir $\theta (0)=0$.

1. Escribe la expresión que da el vector de posición del punto $B$.
2. Encuentra la aceleración del punto $B$.
3. Si se cumple $L\omega _{0}={\sqrt {3}}v_{0}$, ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto $B$ en el instante $t=\pi /2\omega _{0}$?
4. En ese mismo instante, y con el mismo valor de $L\omega _{0}$, cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto $B$?

Solución

Vector de posición del punto $B$

El vector de posición del punto $B$ puede escribirse como

${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}.$

El punto $A$ se mueve sobre el eje $OY$ con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos

${\overrightarrow {OA}}=v_{0}t\,{\vec {\jmath }}.$

El otro vector es

${\overrightarrow {AB}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }},$

donde, según el enunciado, tenemos $\theta =\omega _{0}t$. Por tanto, el vector pedido es

${\overrightarrow {OB}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}t+L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}.$

Aceleración del punto $B$

La velocidad del punto $B$ es

${\vec {v}}_{B}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OB}}}{\mathrm {d} t}}=-L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}+L{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}=-L\omega _{0}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}+L\omega _{0}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}.$

Hemos usado ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$. Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración

${\vec {a}}_{B}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=-L\omega _{0}{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\omega _{0}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}=-L\omega _{0}^{2}\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\omega _{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Aceleración tangencial y curvatura

En el instante indicado, $t=\pi /2\omega _{0}$, tenemos

$\theta (\pi /2\omega _{0})=\pi /2.$

La velocidad y la aceleración en ese instante son

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{B}=-L\omega _{0}\,{\vec {\imath }}+v_{0}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {a}}_{B}=-L\omega _{0}^{2}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple $L\omega _{0}={\sqrt {3}}v_{0}$. Entonces

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{B}=-{\sqrt {3}}v_{0}\,{\vec {\imath }}+v_{0}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {a}}_{B}=-{\sqrt {3}}v_{0}\omega _{0}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El módulo de la velocidad es

$|{\vec {v}}_{B}|={\sqrt {3v_{0}^{2}+v_{0}^{2}}}=2v_{0}.$

La aceleración tangencial es

$a_{T}={\dfrac {{\vec {a}}_{B}\cdot {\vec {v}}_{B}}{|{\vec {v}}_{B}|}}={\dfrac {-{\sqrt {3}}v_{0}^{2}\omega _{0}}{2v_{0}}}=-{\dfrac {{\sqrt {3}}v_{0}\omega _{0}}{2}}.$

La aceleración normal en ese instante es

$a_{N}={\sqrt {|{\vec {a}}_{B}|^{2}-a_{T}^{2}}}={\dfrac {3}{2}}v_{0}\omega _{0}.$

Por lo que la curvatura es

$\kappa ={\dfrac {a_{N}}{|{\vec {v}}_{B}|^{2}}}={\dfrac {3\omega _{0}}{8v_{0}}}.$