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Barra con traslación y rotación (Nov. 2018 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra de longitud L se mueve de modo que su extremo A se desplaza sobre el eje OY con velocidad uniforme v0 y el ángulo que forma la barra con el eje OX es θ = ω0t. En el instante inicial el punto A estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir θ(0) = 0.

  1. Escribe la expresión que da el vector de posición del punto B.
  2. Encuentra la aceleración del punto B.
  3. Si se cumple L\omega_0=\sqrt{3}v_0, ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto B en el instante t = π / 2ω0?
  4. En ese mismo instante, y con el mismo valor de Lω0, cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto B?

2 Solución

2.1 Vector de posición del punto B

El vector de posición del punto B puede escribirse como


\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.

El punto A se mueve sobre el eje OY con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos


\overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\jmath}.

El otro vector es


\overrightarrow{AB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},

donde, según el enunciado, tenemos θ = ω0t. Por tanto, el vector pedido es


\overrightarrow{OB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + (v_0t + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}.

2.2 Aceleración del punto B

La velocidad del punto B es


\vec{v}_B = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OB}}{\mathrm{d}t} =
-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}
=
-L\omega_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\omega_0\cos\theta)\,\vec{\jmath}.

Hemos usado \dot{\theta}=\omega_0. Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración


\vec{a}_B = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t} =
-L\omega_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
=
-L\omega_0^2\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

2.3 Aceleración tangencial y curvatura

En el instante indicado, t = π / 2ω0, tenemos

θ(π / 2ω0) = π / 2.

La velocidad y la aceleración en ese instante son


\begin{array}{l}
\vec{v}_B = -L\omega_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\
\vec{a}_B = -L\omega_0^2\,\vec{\jmath}.
\end{array}

El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple L\omega_0=\sqrt{3}v_0. Entonces


\begin{array}{l}
\vec{v}_B = -\sqrt{3}v_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\
\vec{a}_B = -\sqrt{3}v_0\omega_0\,\vec{\jmath}.
\end{array}

El módulo de la velocidad es


|\vec{v}_B| = \sqrt{3v_0^2 + v_0^2} = 2v_0.

La aceleración tangencial es


a_T = \dfrac{\vec{a}_B\cdot\vec{v}_B}{|\vec{v}_B|} = \dfrac{-\sqrt{3}v_0^2\omega_0}{2v_0} =
-\dfrac{\sqrt{3}v_0\omega_0}{2}.

La aceleración normal en ese instante es


a_N = \sqrt{|\vec{a}_B|^2-a_T^2} = \dfrac{3}{2}v_0\omega_0.

Por lo que la curvatura es


\kappa = \dfrac{a_N}{|\vec{v}_B|^2} = \dfrac{3\omega_0}{8v_0}.

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