Semiaro con barra tangente, Noviembre 2015 (G.I.C.)

Enunciado

El semiaro de la figura, de radio $R$, está articulado en $O$, de modo que rota alrededor de él. En el extremo $A$ del seimaro se encuentra conectada una barra $AP$, de longitud $L$, que es siempre tangente al semiaro en $A$. El ángulo que forma la línea $OA$ con el eje $OX$ es $\theta (t)$.

1. Escribe el vector de posición del punto $A$
2. Escribe el vector de posición del punto $P$
3. ¿Cuál es el valor de $L$ para que los puntos $O$, $B$ y $P$ estén alineados en todo instante?
4. La celeridad del punto $P$ es $|{\vec {v_{P}}}|=v_{0}$, constante en el tiempo. Si en el instante inicial $\theta (0)=0$, ¿cómo es la ley horaria $\theta (t)$?
5. Supongamos ahora que la ley horaria es de la forma $\theta (t)=\omega _{0}t$, con $\omega _{0}$ constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
6. ¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto $P$ en todo instante?

Solución

Vectores de posición de los puntos $A$ y $P$

En la figura se indica donde aparece el ángulo $\theta$. El vector de posición del punto $A$ es

${\overrightarrow {OA}}=2R\,\cos \theta \,{\vec {\imath }}+2R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Construimos el vector ${\overrightarrow {OP}}$ como la suma

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

Del dibujo vemos que

${\overrightarrow {AP}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-L\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Por tanto el vector pedido es

${\overrightarrow {OP}}=(2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}+(2R\mathrm {sen} \,\theta -L\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

Condición para que $O$, $B$ y $P$ estén siempre alineados

Para que esto ocurra debe cumplirse

${\overrightarrow {OB}}\parallel {\overrightarrow {OP}}$

El vector de posición del punto $B$ es ${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CB}}$. Tenemos

${\overrightarrow {OC}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\jmath }}$

y

${\overrightarrow {CB}}=R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-R\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Por tanto

${\overrightarrow {OB}}=(R\cos \theta +R\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}+(R\,\mathrm {sen} \theta -R\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

Para que los vectores ${\overrightarrow {OP}}$ y ${\overrightarrow {OB}}$ sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:

${\dfrac {2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta }{R\cos \theta +R\,\mathrm {sen} \,\theta }}={\dfrac {2R\mathrm {sen} \,\theta -L\cos \theta }{R\,\mathrm {sen} \theta -R\cos \theta }}$

Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición ${\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OP}}={\vec {0}}$. Aquí ya se puede ver que si $L=2R$, los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos multiplicando en aspa

$2R^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta -2R^{2}\cos ^{2}\theta +LR\,\mathrm {sen} ^{2}\theta -LR\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta =2R^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta -LR\cos ^{2}\theta +2R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta -LR\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta$

Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que $\cos ^{2}\theta +\,\mathrm {sen} ^{2}\theta =1$ obtenemos

$LR=2R^{2}\Longrightarrow L=2R.$

Ley horaria $\theta (t)$

Ahora consideramos que el ángulo $\theta$ es una función del tiempo $\theta (t)$. Derivamos el vector de posición ${\overrightarrow {OP}}$ respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena

${\vec {v}}_{P}(t)={\dot {\overrightarrow {OP}}}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \theta }}{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}\,[(-2R\,\mathrm {sen} \,\theta +L\cos \theta )\,{\vec {\imath }}+(2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}\,]$

Calculamos el módulo de este vector

$|{\vec {v}}_{P}|={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +L^{2}\cos ^{2}\theta -2LR\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta +4R^{2}\cos ^{2}\theta +L^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +2LR\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta }}={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}$

Igualamos este módulo a $v_{0}$, con lo que obtenemos una ecuación diferencial para $\theta (t)$

$v_{0}={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}$

Pasamos $\mathrm {d} t$ a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral

$\int \limits _{0}^{\theta (t)}\mathrm {d} \theta =\int \limits _{0}^{t}{\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}\,\mathrm {d} t$

y obtenemos

$\theta (t)={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}\,t$

Vector tangente en el instante inicial

El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad

${\vec {T}}(t)={\dfrac {{\vec {v}}_{P}(t)}{|{\vec {v}}_{P}|}}$

Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial $\theta (0)=0$ para simplificar el vector velocidad

${\vec {v}}_{P}(0)={\dot {\theta }}(0)\,(L\,{\vec {\imath }}+2R\,{\vec {\jmath }})$

El módulo de este vector es

$|{\vec {v}}_{P}(0)|={\dot {\theta }}(0){\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}$

Por tanto el vector tangente en $t=0$ es

${\vec {T}}(0)={\dfrac {1}{\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}}\,\left(L\,{\vec {\imath }}+2R\,{\vec {\jmath }}\right)$

Radio de curvatura

La distancia del punto $P$ al punto $O$ es siempre la misma, el módulo del vector ${\overrightarrow {OP}}$. Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano $OXY$, la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia:

$R_{\kappa }=|{\overrightarrow {OP}}|={\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}$