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Semiaro con barra tangente, Noviembre 2015 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El semiaro de la figura, de radio R, está articulado en O, de modo que rota alrededor de él. En el extremo A del seimaro se encuentra conectada una barra AP, de longitud L, que es siempre tangente al semiaro en A. El ángulo que forma la línea OA con el eje OX es θ(t).

  1. Escribe el vector de posición del punto A
  2. Escribe el vector de posición del punto P
  3. ¿Cuál es el valor de L para que los puntos O, B y P estén alineados en todo instante?
  4. La celeridad del punto P es |\vec{v_P}|=v_0, constante en el tiempo. Si en el instante inicial θ(0) = 0, ¿cómo es la ley horaria θ(t)?
  5. Supongamos ahora que la ley horaria es de la forma θ(t) = ω0t, con ω0 constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
  6. ¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto P en todo instante?

2 Solución

2.1 Vectores de posición de los puntos A y P

En la figura se indica donde aparece el ángulo θ. El vector de posición del punto A es


\overrightarrow{OA} = 2R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

Construimos el vector \overrightarrow{OP} como la suma


\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}

Del dibujo vemos que


\overrightarrow{AP} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\cos\theta\,\vec{\jmath}

Por tanto el vector pedido es


\overrightarrow{OP} = (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta)\,\vec{\jmath}

2.2 Condición para que O, B y P estén siempre alineados

Para que esto ocurra debe cumplirse


\overrightarrow{OB}\parallel \overrightarrow{OP}

El vector de posición del punto B es \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} . Tenemos


\overrightarrow{OC} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\theta\,\vec{\jmath}

y


\overrightarrow{CB} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - R\cos\theta\,\vec{\jmath}

Por tanto


\overrightarrow{OB} = (R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta)\,\vec{\jmath}

Para que los vectores \overrightarrow{OP} y \overrightarrow{OB} sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:


\dfrac{2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta}{R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta}
=
\dfrac{2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta}{R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta}

Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición \overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OP}=\vec{0} . Aquí ya se puede ver que si L = 2R, los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos multiplicando en aspa


2R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - 2R^2\cos^2\theta + LR\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta = 2R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - LR\cos^2\theta + 2R^2\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta

Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que \cos^2\theta +\,\mathrm{sen}^2\theta=1 obtenemos


LR = 2R^2 \Longrightarrow L = 2R.

2.3 Ley horaria θ(t)

Ahora consideramos que el ángulo θ es una función del tiempo θ(t). Derivamos el vector de posición \overrightarrow{OP} respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena


\vec{v}_P(t) = \dot{\overrightarrow{OP}} 
=
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}
=
\dot{\theta}\,[(-2R\,\mathrm{sen}\,\theta+L\cos\theta)\,\vec{\imath} + (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}\,]

Calculamos el módulo de este vector


|\vec{v}_P| = \dot{\theta} \sqrt{4R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + L^2\cos^2\theta - 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta + 4R^2\cos^2\theta + L^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta}
=
\dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}

Igualamos este módulo a v0, con lo que obtenemos una ecuación diferencial para θ(t)


v_0 = \dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}

Pasamos dt a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral


\int\limits_0^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta = \int\limits_0^t\dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}
\,\mathrm{d}t

y obtenemos


\theta(t) = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}\,t

2.4 Vector tangente en el instante inicial

El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad


\vec{T}(t) = \dfrac{\vec{v}_P(t)}{|\vec{v}_P|}

Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial θ(0) = 0 para simplificar el vector velocidad


\vec{v}_P(0) = \dot{\theta}(0)\,( L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath})

El módulo de este vector es


|\vec{v}_P(0)| = \dot{\theta}(0)\sqrt{L^2+4R^2}

Por tanto el vector tangente en t = 0 es


\vec{T}(0) = \dfrac{1}{\sqrt{L^2+4R^2}}\,\left(L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath}\right)

2.5 Radio de curvatura

La distancia del punto P al punto O es siempre la misma, el módulo del vector \overrightarrow{OP} . Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano OXY, la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia:


R_{\kappa} = |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{L^2 + 4R^2}

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