Disco apoyado en barra y caja Septiembre 2015 (G.I.C.)
Enunciado
El disco de la figura tiene masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . Se apoya en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en una barra de masa despreciable y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R} , y en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} en una caja de masa despreciable. Los contactos en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} son lisos. A su vez la barra se apoya sobre la caja en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , con contacto también liso. La caja se apoya en el suelo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } . Se aplica una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.
- Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
- Calcula el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} .
- Calcula la reacción en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\pi/4} .
- Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\pi/4} .
Solución
Diagramas de sólido libre
La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{N}^B_{0\to2} = -\vec{N}^B_{2\to0} \\ \vec{N}^D_{3\to2} = -\vec{N}^D_{2\to3} \\ \vec{N}^A_{3\to0} = -\vec{N}^A_{0\to3} \\ \end{array} }
Fuerza para mantener el equilibrio
Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = F\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{N}^O_{1\to3} = N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{f}^O_{1\to3} = f^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\imath} -f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\ \end{array} }
Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OE}\times\vec{F} + \overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = \vec{0} }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OE}\times\vec{F} = (4R\,\vec{\imath})\times(F\,\vec{\jmath}) = 4FR\,\vec{k} }
Por otro lado
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La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos
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Fuerzas en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O }
Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}^O_{1\to3} + \vec{f}^O_{1\to3} }
Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} (X) \to N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha + f^O_{1\to3}\cos\alpha = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\ (Y) \to N^O_{1\to3}\cos\alpha - f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha = Mg\cos\alpha - F \end{array} }
Multiplicando la primera ecuación por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\alpha } , la segunda por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha } y sumándolas miembro a miembro tenemos
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Ahora multiplicamos la primera por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha } , la segunda por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\alpha } y las restamos miembro a miembro. Obtenemos
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La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo
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Para que la caja no deslice debe cumplirse
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En el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\pi/4 } tenemos
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Para que haya equilibrio debe cumplirse
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Fuerzas ejercidas sobre el disco
Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco
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Las fuerzas son
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Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:
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