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Disco apoyado en barra y caja Septiembre 2015 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El disco de la figura tiene masa M y radio R. Se apoya en el punto B en una barra de masa despreciable y longitud 2R, y en el punto D en una caja de masa despreciable. Los contactos en B y D son lisos. A su vez la barra se apoya sobre la caja en el punto A, con contacto también liso. La caja se apoya en el suelo en el punto O, con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático μ. Se aplica una fuerza \vec{F} sobre el punto E de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.

  1. Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
  2. Calcula el valor de \vec{F} para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de α.
  3. Calcula la reacción en el punto O y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso α = π / 4.
  4. Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso α = π / 4.

2 Solución

2.1 Diagramas de sólido libre

La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en O es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas


\begin{array}{l}
\vec{N}^B_{0\to2} = -\vec{N}^B_{2\to0} \\
\vec{N}^D_{3\to2} = -\vec{N}^D_{2\to3} \\
\vec{N}^A_{3\to0} = -\vec{N}^A_{0\to3} \\
\end{array}

2.2 Fuerza para mantener el equilibrio

Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente


\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{N}^O_{1\to3} = N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{f}^O_{1\to3} = f^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\imath} -f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\
\end{array}

Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto O para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es


\overrightarrow{OE}\times\vec{F} + \overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = \vec{0}

Tenemos


\overrightarrow{OE}\times\vec{F} = (4R\,\vec{\imath})\times(F\,\vec{\jmath})
=
4FR\,\vec{k}

Por otro lado


\left.
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OC} = 3R\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = -MgR\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{k}

La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos


\vec{F} = \dfrac{Mg}{4}\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{\jmath}

2.3 Fuerzas en el punto O

Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos


\vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}^O_{1\to3} + \vec{f}^O_{1\to3}

Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente


\begin{array}{l}
(X) \to N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha + f^O_{1\to3}\cos\alpha = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
\\
(Y) \to N^O_{1\to3}\cos\alpha - f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha = Mg\cos\alpha - F
\end{array}

Multiplicando la primera ecuación por \mathrm{sen}\,\alpha , la segunda por cosα y sumándolas miembro a miembro tenemos


N^O_{1\to3} = Mg - F\cos\alpha

Ahora multiplicamos la primera por cosα, la segunda por \mathrm{sen}\,\alpha y las restamos miembro a miembro. Obtenemos


f^O_{1\to3} = F\,\mathrm{sen}\,\alpha

La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo


|\vec{f}^O_{1\to3}| \leq \mu|\vec{N}^O_{1\to3}|

Para que la caja no deslice debe cumplirse


f^O_{1\to3} \leq \mu N^O_{1\to3}

En el caso α = π / 4 tenemos


\begin{array}{l}
F = \dfrac{Mg}{2\sqrt{2}}\\ \\
N^O_{1\to3} = \dfrac{3}{4}Mg\\ \\
f^O_{1\to3} =  \dfrac{Mg}{4}\\
\end{array}

Para que haya equilibrio debe cumplirse


\mu\geq \dfrac{1}{3}

2.4 Fuerzas ejercidas sobre el disco

Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco


\vec{P}_2 + \vec{N}^B_{0\to2} + \vec{N}^D_{3\to2} = \vec{0}

Las fuerzas son


\begin{array}{l}
\vec{P}_2  = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{N}^B_{0\to2} = N^B_{0\to2}\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{N}^D_{3\to2} = N^D_{3\to2}\,\vec{\jmath}
\end{array}

Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:


\begin{array}{l}
N^B_{0\to2} = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\
N^D_{3\to2} = Mg\cos\alpha

\end{array}

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