Disco apoyado en barra y caja Septiembre 2015 (G.I.C.)

Enunciado

El disco de la figura tiene masa $M$ y radio $R$. Se apoya en el punto $B$ en una barra de masa despreciable y longitud $2R$, y en el punto $D$ en una caja de masa despreciable. Los contactos en $B$ y $D$ son lisos. A su vez la barra se apoya sobre la caja en el punto $A$, con contacto también liso. La caja se apoya en el suelo en el punto $O$, con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático $\mu$. Se aplica una fuerza ${\vec {F}}$ sobre el punto $E$ de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.

1. Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
2. Calcula el valor de ${\vec {F}}$ para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de $\alpha$.
3. Calcula la reacción en el punto $O$ y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso $\alpha =\pi /4$.
4. Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso $\alpha =\pi /4$.

Solución

Diagramas de sólido libre

La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en $O$ es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas

${\begin{array}{l}{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}=-{\vec {N}}_{2\to 0}^{B}\\{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}=-{\vec {N}}_{2\to 3}^{D}\\{\vec {N}}_{3\to 0}^{A}=-{\vec {N}}_{0\to 3}^{A}\\\end{array}}$

Fuerza para mantener el equilibrio

Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=F\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}=N_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+N_{1\to 3}^{O}\,\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}=f_{1\to 3}^{O}\,\cos \alpha \,{\vec {\imath }}-f_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\\end{array}}$

Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto $O$ para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es

${\overrightarrow {OE}}\times {\vec {F}}+{\overrightarrow {OC}}\times {\vec {P}}_{2}={\vec {0}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OE}}\times {\vec {F}}=(4R\,{\vec {\imath }})\times (F\,{\vec {\jmath }})=4FR\,{\vec {k}}$

Por otro lado

$\left.{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OC}}=3R\,{\vec {\imath }}+R\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right|\Longrightarrow {\overrightarrow {OC}}\times {\vec {P}}_{2}=-MgR\,(3\cos \alpha -\mathrm {sen} \,\alpha )\,{\vec {k}}$

La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos

${\vec {F}}={\dfrac {Mg}{4}}\,(3\cos \alpha -\mathrm {sen} \,\alpha )\,{\vec {\jmath }}$

Fuerzas en el punto $O$

Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos

${\vec {F}}+{\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}+{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}$

Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente

${\begin{array}{l}(X)\to N_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha +f_{1\to 3}^{O}\cos \alpha =Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\(Y)\to N_{1\to 3}^{O}\cos \alpha -f_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha =Mg\cos \alpha -F\end{array}}$

Multiplicando la primera ecuación por $\mathrm {sen} \,\alpha$, la segunda por $\cos \alpha$ y sumándolas miembro a miembro tenemos

$N_{1\to 3}^{O}=Mg-F\cos \alpha$

Ahora multiplicamos la primera por $\cos \alpha$, la segunda por $\mathrm {sen} \,\alpha$ y las restamos miembro a miembro. Obtenemos

$f_{1\to 3}^{O}=F\,\mathrm {sen} \,\alpha$

La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo

$|{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}|\leq \mu |{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}|$

Para que la caja no deslice debe cumplirse

$f_{1\to 3}^{O}\leq \mu N_{1\to 3}^{O}$

En el caso $\alpha =\pi /4$ tenemos

${\begin{array}{l}F={\dfrac {Mg}{2{\sqrt {2}}}}\\\\N_{1\to 3}^{O}={\dfrac {3}{4}}Mg\\\\f_{1\to 3}^{O}={\dfrac {Mg}{4}}\\\end{array}}$

Para que haya equilibrio debe cumplirse

$\mu \geq {\dfrac {1}{3}}$

Fuerzas ejercidas sobre el disco

Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco

${\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}+{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}={\vec {0}}$

Las fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}=N_{0\to 2}^{B}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}=N_{3\to 2}^{D}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:

${\begin{array}{l}N_{0\to 2}^{B}=Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\N_{3\to 2}^{D}=Mg\cos \alpha \end{array}}$