Enunciado
Una barra homogénea de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre la cuerda y la barra es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/2} . El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} .
- En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
- Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} .
- Fijado el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} , ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} ?
Solución
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } : la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -Mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{T}^A = -T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\ \vec{N}^O = N^O\,\vec{\jmath}\\ \vec{F}_r^O = F_r^O\,\vec{\imath} \end{array} }
Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P} + \vec{T} + \vec{N}^O + \vec{F}_r^O = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} (X): F_r^O = T\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ (Y): N^O + T\cos\alpha = Mg \end{array} \right. }
Calculamos los momentos respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . De este modo nos quedará una ecuación para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T } . Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OG}\times\vec{P} = \dfrac{1}{2}\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times (-Mg\,\vec{\jmath}) = -\dfrac{1}{2}MgL\cos\alpha\,\vec{k} \\ \overrightarrow{OA}\times\vec{T} = \left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times \left(-T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\right) = TL\,\vec{k} \end{array} }
La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha }
Obtenemos así las tres fuerzas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\\ \\ F_r^O = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\ N^O = Mg\,\left(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha\right) \end{array} }
El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}^O_r|\leq|\vec{N}^O| \Longrightarrow \mu \geq \dfrac{\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2-\cos^2\alpha} }
