Varilla colgando de cuerda, Enero 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Una barra homogénea de masa $M$ y longitud $L$ está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre la cuerda y la barra es $\pi /2$. El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$. El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es $\alpha$.

1. En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
2. Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto $O$.
3. Fijado el valor de $\alpha$, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto $O$?

Solución

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto $O$: la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-Mg\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {T}}^{A}=-T\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+T\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{O}=N^{O}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{r}^{O}=F_{r}^{O}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos

${\vec {P}}+{\vec {T}}+{\vec {N}}^{O}+{\vec {F}}_{r}^{O}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{ll}(X):F_{r}^{O}=T\,\mathrm {sen} \,\alpha \\(Y):N^{O}+T\cos \alpha =Mg\end{array}}\right.$

Calculamos los momentos respecto al punto $O$. De este modo nos quedará una ecuación para $T$. Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {P}}={\dfrac {1}{2}}\left(L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\right)\times (-Mg\,{\vec {\jmath }})=-{\dfrac {1}{2}}MgL\cos \alpha \,{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {T}}=\left(L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\right)\times \left(-T\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+T\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\right)=TL\,{\vec {k}}\end{array}}$

La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos

$T={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha$

Obtenemos así las tres fuerzas

${\begin{array}{l}T={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha \\\\F_{r}^{O}={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\N^{O}=Mg\,\left(1-{\dfrac {1}{2}}\cos ^{2}\alpha \right)\end{array}}$

El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es

$|{\vec {F}}_{r}^{O}|\leq |{\vec {N}}^{O}|\Longrightarrow \mu \geq {\dfrac {\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,\alpha }{2-\cos ^{2}\alpha }}$