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Varilla colgando de cuerda, Enero 2015 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Una barra homogénea de masa M y longitud L está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre la cuerda y la barra es π / 2. El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático μ. El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es α.

  1. En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
  2. Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto O.
  3. Fijado el valor de α, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto O?

2 Solución

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto O: la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben


\begin{array}{l}
\vec{P} = -Mg\,\vec{\jmath}\\
\vec{T}^A = -T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}^O = N^O\,\vec{\jmath}\\
\vec{F}_r^O = F_r^O\,\vec{\imath}
\end{array}

Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos


\vec{P}  +
\vec{T} +
\vec{N}^O  +
\vec{F}_r^O = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
(X): F_r^O = T\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
(Y): N^O + T\cos\alpha = Mg
\end{array}
\right.

Calculamos los momentos respecto al punto O. De este modo nos quedará una ecuación para T. Tenemos


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OG}\times\vec{P} = 
\dfrac{1}{2}\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times (-Mg\,\vec{\jmath}) = -\dfrac{1}{2}MgL\cos\alpha\,\vec{k}
\\
\overrightarrow{OA}\times\vec{T} = 
\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times \left(-T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\right) = TL\,\vec{k}
\end{array}

La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos


T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha

Obtenemos así las tres fuerzas


\begin{array}{l}
T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\\
\\
F_r^O = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
\\
N^O = Mg\,\left(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha\right)
\end{array}

El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es


|\vec{F}^O_r|\leq|\vec{N}^O| 
\Longrightarrow
\mu  \geq \dfrac{\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2-\cos^2\alpha}

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