Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas $y=A(1-x^{2}/A^{2})$ y $z=0$, donde $A$ es una constante. La coordenada $x$ varía en el intervalo $x\in [0,A]$.

1. Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
2. Suponiendo que en $t=0$ la distancia recorrida es $s=0$ encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
3. ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en $x=0$?

Solución

Vector tangente

Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada $x$

${\vec {r}}(x)=x\,{\vec {\imath }}+A\left(1-{\dfrac {x^{2}}{A^{2}}}\right)\,{\vec {\jmath }}$

Calculamos el vector tangente usando la expresión

${\vec {T}}(x)={\dfrac {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} x}}{\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} x}}\right|}}$

Derivando en la parametrización tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} x}}={\vec {\imath }}-{\dfrac {2x}{A}}\,{\vec {\jmath }}$

El módulo de este vector es

$\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} x}}\right|={\sqrt {1+{\dfrac {4x^{2}}{A^{2}}}}}={\dfrac {\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}{A}}$

Por tanto el vector tangente es

${\vec {T}}={\dfrac {A}{\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {2x}{\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}$

Distancia recorrida

La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es

$\mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|=\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} x}}\right|\,\mathrm {d} x={\dfrac {\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}{A}}\,\mathrm {d} x$

La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir

$s=\int \limits _{0}^{A}{\dfrac {\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}{A}}\,\mathrm {d} x$

Vector normal en $x=0$

La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo $A=1$. Vemos que en $x=0$ el vector normal es

${\vec {N}}(0)=-{\vec {\jmath }}$

Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,

${\vec {N}}(x)={\dfrac {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} x}}{\left|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} x}}\right|}}$

El resultado es

${\vec {N}}=-{\dfrac {2x}{\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {A}{\sqrt {A^{2}+4x^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}$

Evaluándolo en $x=0$ obtenemos el resultado anterior.