Barra rotando con disco, Septiembre 2019 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una varilla recta y rígida (sólido "0") se mueve siempre contenida en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido "1"), girando, con velocidad angular constante $\Omega$ y en el sentido indicado en la figura, alrededor de su extremo articulado el punto fijo $O$. El centro $C$ de un disco de radio $R$ (sólido "2"), recorre la varilla alejándose con aceleración constante $2a_{0}$. En el instante inicial $t=0$, el punto $C$ coincidía con el $O$ y su velocidad era nula. A su vez, el disco gira alrededor de su centro $C$ en el sentido indicado, con velocidad angular constante $\omega$ (respecto a la varilla) y permaneciendo siempre paralelo al plano fijo $OX_{1}Y_{1}$. En el instante inicial la varilla recta coincidía con el eje $OX_{1}$,

1. Determina reducciones cinemáticas y sus derivadas temporales de los movimientos {01}, {20} y {21}. Puedes hacerlo en cualquier punto.
2. En el instante $t=1/\Omega$, encuentra la posición de los C.I.R. de los tres movimientos.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

El movimiento {01} es plano. Del dibujo vemos

${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}.$

Como $\Omega$ es constante en el tiempo tenemos

${\vec {\alpha }}_{01}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}.$

Por otro lado, el punto $O$ del sólido "0" coincide siempre con el punto $O$ del sólido "1" en todo instante de tiempo. Entonces

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Es decir, la reducción cinemática en $O$ de este movimiento es

$R(O)=\{{\vec {v}}_{01}^{\,O},{\vec {\omega }}_{01}\}.$

Su derivada temporal es

$\{{\vec {a}}_{01}^{\,O},{\vec {\alpha }}_{01}\}.$

Movimiento {20}

Reducimos este movimiento en el punto $C$. Como es plano, del dibujo vemos

${\vec {\omega }}_{20}=-\omega \,{\vec {k}}.$

Como $\omega$ es constante en el tiempo tenemos

${\vec {\alpha }}_{20}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}.$

El punto $C$ del disco desliza sobre el eje $OX_{0}$ con aceleración uniforme

${\vec {a}}_{20}^{\,O}=2a_{0}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Como en el instante inicial el centro del disco estaba en $O$ y tenía velocidad nula tenemos

${\vec {v}}_{20}^{\,O}=2a_{0}t\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Es decir, la reducción cinemática en $C$ de este movimiento es

$R(C)=\{{\vec {v}}_{20}^{\,C},{\vec {\omega }}_{20}\}.$

Su derivada temporal es

$\{{\vec {a}}_{20}^{\,C},{\vec {\alpha }}_{20}\}.$

Movimiento {21}

Construimos este movimiento con la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}.$

Para la velocidad y aceleración angulares tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=(\Omega -\omega )\,{\vec {k}},\\\\{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}.\end{array}}$

Para la velocidad en $C$ tenemos

${\begin{array}{rl}{\vec {v}}_{21}^{\,C}&={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {v}}_{01}^{\,C}=2ac_{0}t\,{\vec {\imath }}_{0}+a_{0}t^{2}\,{\vec {\imath }}\\&\\&{\vec {v}}_{20}^{\,C}=2a_{0}t\,{\vec {\imath }}_{0}\\&\\&{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}=a_{0}\Omega _{0}t^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\&\\&{\overrightarrow {OC}}=a_{0}t^{2}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$