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Barra rotando con disco, Septiembre 2019 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una varilla recta y rígida (sólido "0") se mueve siempre contenida en el plano fijo OX1Y1 (sólido "1"), girando, con velocidad angular constante Ω y en el sentido indicado en la figura, alrededor de su extremo articulado el punto fijo O. El centro C de un disco de radio R (sólido "2"), recorre la varilla alejándose con aceleración constante 2a0. En el instante inicial t = 0, el punto C coincidía con el O y su velocidad era nula. A su vez, el disco gira alrededor de su centro C en el sentido indicado, con velocidad angular constante ω (respecto a la varilla) y permaneciendo siempre paralelo al plano fijo OX1Y1. En el instante inicial la varilla recta coincidía con el eje OX1,

  1. Determina reducciones cinemáticas y sus derivadas temporales de los movimientos {01}, {20} y {21}. Puedes hacerlo en cualquier punto.
  2. En el instante t = 1 / Ω, encuentra la posición de los C.I.R. de los tres movimientos.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

El movimiento {01} es plano. Del dibujo vemos


\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}.

Como Ω es constante en el tiempo tenemos


\vec{\alpha}_{01} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.

Por otro lado, el punto O del sólido "0" coincide siempre con el punto O del sólido "1" en todo instante de tiempo. Entonces


\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}.

Es decir, la reducción cinemática en O de este movimiento es


R(O) = \{\vec{v}^{\,O}_{01}, \vec{\omega}_{01}\}.

Su derivada temporal es


\{\vec{a}^{\,O}_{01}, \vec{\alpha}_{01}\}.

2.1.2 Movimiento {20}

Reducimos este movimiento en el punto C. Como es plano, del dibujo vemos


\vec{\omega}_{20} = -\omega\,\vec{k}.

Como ω es constante en el tiempo tenemos


\vec{\alpha}_{20} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.

El punto C del disco desliza sobre el eje OX0 con aceleración uniforme


\vec{a}^{\,O}_{20} = 2a_0\,\vec{\imath}_0.

Como en el instante inicial el centro del disco estaba en O y tenía velocidad nula tenemos


\vec{v}^{\,O}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0.

Es decir, la reducción cinemática en C de este movimiento es


R(C) = \{\vec{v}^{\,C}_{20}, \vec{\omega}_{20}\}.

Su derivada temporal es


\{\vec{a}^{\,C}_{20}, \vec{\alpha}_{20}\}.

2.2 Movimiento {21}

Construimos este movimiento con la composición

{21} = {20} + {01}.

Para la velocidad y aceleración angulares tenemos


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\Omega-\omega)\,\vec{k},\\
\\
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0}.
\end{array}

Para la velocidad en C tenemos


\begin{array}{rl}
\vec{v}^{\,C}_{21} & = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} = 
2ac_0t\,\vec{\imath}_0 + a_0t^2\,\vec{\imath}\\
&\\
&\vec{v}^{\,C}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0\\
&\\
&\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = a_0\Omega_0t^2\,\vec{\jmath}_0\\
&\\
&\overrightarrow{OC} = a_0t^2\,\vec{\imath}
\end{array}

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