Polea con masa, Enero 2019 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una cuerda ideal sin masa está completamente enrollada en una polea de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M=2m} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . Al extremo de la cuerda está atada una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} . El centro de la polea, que es un punto fijo, se encuentra a una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H} del suelo. En el instante inicial la masa estaba a la altura del centro de la polea (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la figura) y la polea estaba en reposo. Entonces, se deja girar libremente a la polea. La gravedad actúa como se indica en la figura. Supondremos que la cuerda está siempre tensa y que la masa se mueve verticalmente. El momento de inercia de un disco de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=MR^2/2} .

1. Usando la conservación de Energía Mecánica, calcula la rapidez con la que la masa impacta en el suelo.
2. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa y la polea.
3. Aplicando la Segunda Ley de Newton. el T.C.M. y el T.M.C, calcula la aceleración de la masa, la tensión de la cuerda y las fuerzas sobre la polea durante el movimiento.

Solución

Impacto con el suelo

La única fuerza que hace trabajo es la gravedad. Al ser conservativa, se conserva la energía mecánica. Pero hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea, pues tiene masa.

Tomando como referencia de energía potencial el suelo, en el instante inicial la energía mecánica es puramente potencial gravitatoria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = mgH + MgH = 3mgH. }

Cuando la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} impacta con el suelo la energía mecánica consta de la energía cinética y la energía pontencial gravitatoria de la polea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T + MgH. }

La energía cinética es la suma de las energías cinéticas de la masa, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_m} y de la polea, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_M}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} T_m = \dfrac{1}{2}mv_m^2, \\ \\ T_M = \dfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{1}{2}\dfrac{2mR^2}{2}\dfrac{v_m^2}{R^2} = \dfrac{1}{2}mv_m^2. \end{array} }

Hemos usado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=v_m/R} , pues la velocidad de la masa es en todo instante igual a la del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la polea. Entonces, la energía mecánica del sistema cuando la masa impacta con el suelo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T_m + T_M + MgH = mv_m^2 + 2mgH. }

Igualando con el valor inicial de la energía mecánica tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3mgH = mv_m^2 + 2mg \Longrightarrow v_m = \sqrt{gH}. }

Diagrama de fuerzas

El diagrama de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y la polea. Sobre la masa actúan el peso y la tensión de la cuerda. Sobre la polea son su peso, la tensión de la cuerda en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y la fuerza vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} que garantiza que este punto nose mueve.

La expresión de estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura es, para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_m = mg\,\vec{\imath}, \\ \vec{T}_m = -T\,\vec{\imath}. \end{array} }

Para la polea tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_M = Mg\,\vec{\imath}, \\ \vec{T}_A = T\,\vec{\imath}, \\ \vec{O} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath}. \end{array} }

Como la cuerda no tiene masa tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_A = -\vec{T}_m} . La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O}} tiene dos componentes a priori no nulas pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} tiene dos movimientos prohibidos, en las direcciones de los ejes.

Aplicación de los Teoremas Fundamentales

Hemos de aplicar la Segunda Ley de Newton a la masa y el T.C.M. y el T.M.C. a la polea. Para la masa tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}_m = \vec{P}_m + \vec{T}_m \Longrightarrow ma = mg - T. \qquad (1) }

Aplicando el T.C.M. a la polea tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}_O = \vec{P}_M + \vec{T}_A + \vec{O}. }

El centro de masas de la polea no se mueve, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_O=\vec{0}} . Obtenemos así dos ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} Mg + T + O_x = 0, & (2)\\ O_y = 0. & (3) \end{array} }

Aplicamos el T.M.C. en el centro de la polea. La única fuerza que crea momento en este caso es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_O = \overrightarrow{OA}\times\vec{T}_A. }

El momento cinético es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = I\vec{\omega}. }

Su derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_O = I\vec{\alpha} = I\alpha\,\vec{k}. }

La aceleración tangencial del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la polea coincide con la aceleración del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la cuerda y, por tanto, con la aceleración de la masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = a/R \Longrightarrow \dot{\vec{L}}_O = I\dfrac{a}{R}\,\vec{k} = mRa\,\vec{k}. }

El momento creado por la fuerza es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\times\vec{T}_A = (-R\,\vec{\jmath})\times(T\,\vec{\imath}) = RT\,\vec{k}. }

El T.M.C. nos da entonces la ecuación

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Tenemos cuatro incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a, T, O_x, O_y\} } con cuatro ecuaciones. Resolviendo llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \dfrac{1}{2}g, \qquad T = \dfrac{1}{2}mg, \qquad O_x = -\dfrac{5}{2}mg, \qquad O_y = 0. }

La aceleración de la masa y las fuerzas sobre la polea son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_m = \dfrac{1}{2}g\,\vec{\imath}, \qquad \vec{T}_A = \dfrac{1}{2}mg\,\vec{\imath}, \qquad \vec{O} = -\dfrac{5}{2}mg\,\vec{\imath}, \qquad \vec{P}_M = 2mg\,\vec{\imath}. }

Errores comunes detectados durante la corrección

1. Al aplicar la conservación de Energía Mecánica hay que tener en cuenta la energía cinética de rotación de la polea.
2. No hay que confundir la aceleración de la masa con la del centro de la polea. Ésta última es nula.
3. El T.C.M. y el T.M.C. se aplican sólo a la polea. No hay que incluir el momento angular de la masa ni el momento de fuerza creado por su peso.