Partícula sometida a una fuerza viscosa(Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ realiza un movimiento rectilíneo sobre el eje $OX$ con una velocidad ${\vec {v}}=At^{3}\,{\vec {\imath }}$, siendo $A$ una constante. Sobre la partícula actúa una fuerza de rozamiento viscoso ${\vec {F}}_{r}=-b\,v^{2}\,{\vec {\imath }}$, siendo $b$ una constante y $v$ la rapidez de la partícula.

1. Escribe la potencia que esta fuerza de rozamiento transmite a la partícula en cada instante de tiempo.
2. Cuanto vale el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento entre los instantes de tiempo $t=0$ y $t=T$?
3. Calcula el trabajo neto total realizado sobre la partícula entre el mismo intervalo de tiempo.

Solución

Potencia

La potencia que transmite la fuerza de rozamiento viscoso a la partícula es

$P_{v}={\vec {F}}_{r}\cdot {\vec {v}}=-bv^{3}=-bA^{3}t^{9}.$

Trabajo de la fuerza viscosa

El trabajo realizado por la fuerza viscosa puede calcularse integrando en el tiempo la potencia transmitida por la fuerza

$P_{v}={\dfrac {\mathrm {d} W_{v}}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} W_{v}=P_{v}\,\mathrm {d} t.$

Tenemos

$W_{v}=\int \limits _{0}^{T}\mathrm {d} W_{v}=\int \limits _{0}^{T}P_{v}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{T}-bA^{3}t^{9}\,\mathrm {d} t=-{\dfrac {1}{10}}bA^{3}T^{10}.$

Trabajo total

Aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas, el trabajo total realizado sobre la partícula es igual a la variación de su energía cinética

$W=\Delta E_{c}={\dfrac {1}{2}}mv^{2}(T)-{\dfrac {1}{2}}mv^{2}(0)={\dfrac {1}{2}}mA^{2}T^{6}.$