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Partícula sometida a una fuerza viscosa(Ene. 2020 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m realiza un movimiento rectilíneo sobre el eje OX con una velocidad \vec{v} = A t^3\,\vec{\imath}, siendo A una constante. Sobre la partícula actúa una fuerza de rozamiento viscoso \vec{F}_r =
-b\,v^2\,\vec{\imath}, siendo b una constante y v la rapidez de la partícula.

  1. Escribe la potencia que esta fuerza de rozamiento transmite a la partícula en cada instante de tiempo.
  2. Cuanto vale el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento entre los instantes de tiempo t = 0 y t = T?
  3. Calcula el trabajo neto total realizado sobre la partícula entre el mismo intervalo de tiempo.

2 Solución

2.1 Potencia

La potencia que transmite la fuerza de rozamiento viscoso a la partícula es


P_v = \vec{F}_r\cdot\vec{v} = -bv^3 = -b A^3t^9.

2.2 Trabajo de la fuerza viscosa

El trabajo realizado por la fuerza viscosa puede calcularse integrando en el tiempo la potencia transmitida por la fuerza


P_v = \dfrac{\mathrm{d}W_v}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}W_v = P_v\,\mathrm{d}t.

Tenemos


W_v = \int\limits_0^T\mathrm{d}W_v =  \int\limits_0^T P_v\,\mathrm{d}t
=
\int\limits_0^T-b A^3t^9\,\mathrm{d}t
=
-\dfrac{1}{10}bA^3T^{10}.

2.3 Trabajo total

Aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas, el trabajo total realizado sobre la partícula es igual a la variación de su energía cinética


W = \Delta E_c = \dfrac{1}{2}m v^2(T) - \dfrac{1}{2}m v^2(0) = \dfrac{1}{2}mA^2T^6.

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