Características de una onda, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

La figura muestra una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha en dos instantes de tiempo. La linea continua corresponde al instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0.00\,\mathrm{s}} y la línea a trazos a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0.80\,\mathrm{s}} . Calcula

1. La velocidad con la que se propaga la onda.
2. La función matemática que describe la onda.
3. La velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} en el instante $t=0.80\,\mathrm {s}$.

Solución

Si observamos el dibujo, vemos que en $t=0$ la línea continua corta al eje en los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 5, 15, 25\,\mathrm{cm} } . Para ver la distancia recorrida por la onda el intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t=0.80\,\mathrm{s} } hemos de fijarnos en los puntos equivalentes de la línea de trazos. De lo tres, el único que aparece en la línea de trazos es el primero. En efecto, en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=17\,\mathrm{cm} } la línea de trazos pasa de un valor positivo a un valor negativo, como en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=5\,\mathrm{cm} } de la línea continua. Por tanto, la onda ha avanzado una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta s = 12\,\mathrm{cm} } y su velocidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = 15\,\mathrm{cm/s} }

La función de onda puede escribirse de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,y) = A\,cos(\omega t-kx + \phi) = A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x + \phi\right) }

Si observamos la línea continua, vemos que la distancia entre dos máximos consecutivos es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=20\,\mathrm{cm} } , es decir, la longitud de onda. Como tenemos la velocidad, el período de la onda es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{4}{3}\,\mathrm{s} }

Con esto tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,y) = A\cos\left(\dfrac{2\pi}{4/3}t - \dfrac{2\pi}{20}x + \phi\right) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right) }

También observamos en el dibujo (en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0\,\mathrm{cm} } en la línea continua) que la amplitud de la oscilación es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = 3.5\,\mathrm{cm} } .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,y) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right) \,(\mathrm{cm}) }

Y, por último, en ese mismo punto observamos que la constante de fase es nula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi=0 } , pues en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0 } el valor de la perturbación es la propia amplitud

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(0.0) = A = A\cos(\phi) \Longrightarrow \cos\phi=1 \Longrightarrow \phi = 0 }

Por tanto, la forma de la función de onda es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,y) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x \right) \,(\mathrm{cm}) }

Para calcular la velocidad de cada punto calculamos la derivada respecto del tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_y(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t} = -1.5\pi\,A\,\mathrm{sen}\,\left(1.5\pi t - 0.1\pi x \right) \,(\mathrm{cm/s}) }

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_y(0,0.80) = 9.7\,\mathrm{cm/s}. }