Características de una onda, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

La figura muestra una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha en dos instantes de tiempo. La linea continua corresponde al instante $t=0.00\,\mathrm {s}$ y la línea a trazos a $t=0.80\,\mathrm {s}$. Calcula

1. La velocidad con la que se propaga la onda.
2. La función matemática que describe la onda.
3. La velocidad del punto $x=0$ en el instante $t=0.80\,\mathrm {s}$.

Solución

Si observamos el dibujo, vemos que en $t=0$ la línea continua corta al eje en los puntos $x=5,15,25\,\mathrm {cm}$. Para ver la distancia recorrida por la onda el intervalo de tiempo $\Delta t=0.80\,\mathrm {s}$ hemos de fijarnos en los puntos equivalentes de la línea de trazos. De lo tres, el único que aparece en la línea de trazos es el primero. En efecto, en $x=17\,\mathrm {cm}$ la línea de trazos pasa de un valor positivo a un valor negativo, como en el punto $x=5\,\mathrm {cm}$ de la línea continua. Por tanto, la onda ha avanzado una distancia $\Delta s=12\,\mathrm {cm}$ y su velocidad es

$v={\dfrac {\Delta s}{\Delta t}}=15\,\mathrm {cm/s}$

La función de onda puede escribirse de la forma

$y(x,y)=A\,cos(\omega t-kx+\phi )=A\cos \left({\dfrac {2\pi }{T}}t-{\dfrac {2\pi }{\lambda }}x+\phi \right)$

Si observamos la línea continua, vemos que la distancia entre dos máximos consecutivos es $\lambda =20\,\mathrm {cm}$, es decir, la longitud de onda. Como tenemos la velocidad, el período de la onda es

$T={\dfrac {\lambda }{v}}={\dfrac {4}{3}}\,\mathrm {s}$

Con esto tenemos

$y(x,y)=A\cos \left({\dfrac {2\pi }{4/3}}t-{\dfrac {2\pi }{20}}x+\phi \right)=A\cos \left(1.5\pi t-0.1\pi x+\phi \right)$

También observamos en el dibujo (en $x=0\,\mathrm {cm}$ en la línea continua) que la amplitud de la oscilación es $A=3.5\,\mathrm {cm}$.

$y(x,y)=A\cos \left(1.5\pi t-0.1\pi x+\phi \right)\,(\mathrm {cm} )$

Y, por último, en ese mismo punto observamos que la constante de fase es nula $\phi =0$, pues en $x=0$ y $t=0$ el valor de la perturbación es la propia amplitud

$y(0.0)=A=A\cos(\phi )\Longrightarrow \cos \phi =1\Longrightarrow \phi =0$

Por tanto, la forma de la función de onda es

$y(x,y)=A\cos \left(1.5\pi t-0.1\pi x\right)\,(\mathrm {cm} )$

Para calcular la velocidad de cada punto calculamos la derivada respecto del tiempo

$v_{y}(x,t)={\dfrac {\partial y}{\partial t}}=-1.5\pi \,A\,\mathrm {sen} \,\left(1.5\pi t-0.1\pi x\right)\,(\mathrm {cm/s} )$

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos

$v_{y}(0,0.80)=9.7\,\mathrm {cm/s} .$