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Características de una onda, Enero 2014 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

La figura muestra una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha en dos instantes de tiempo. La linea continua corresponde al instante t=0.00\,\mathrm{s} y la línea a trazos a t=0.80\,\mathrm{s}. Calcula

  1. La velocidad con la que se propaga la onda.
  2. La función matemática que describe la onda.
  3. La velocidad del punto x = 0 en el instante t=0.80\,\mathrm{s}.

2 Solución

Si observamos el dibujo, vemos que en t = 0 la línea continua corta al eje en los puntos x = 5, 15, 25\,\mathrm{cm} . Para ver la distancia recorrida por la onda el intervalo de tiempo \Delta t=0.80\,\mathrm{s} hemos de fijarnos en los puntos equivalentes de la línea de trazos. De lo tres, el único que aparece en la línea de trazos es el primero. En efecto, en x=17\,\mathrm{cm} la línea de trazos pasa de un valor positivo a un valor negativo, como en el punto x=5\,\mathrm{cm} de la línea continua. Por tanto, la onda ha avanzado una distancia \Delta s = 12\,\mathrm{cm} y su velocidad es


v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = 15\,\mathrm{cm/s}

La función de onda puede escribirse de la forma


y(x,y) = A\,cos(\omega t-kx + \phi) = A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x + \phi\right)

Si observamos la línea continua, vemos que la distancia entre dos máximos consecutivos es \lambda=20\,\mathrm{cm} , es decir, la longitud de onda. Como tenemos la velocidad, el período de la onda es


T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{4}{3}\,\mathrm{s}

Con esto tenemos


y(x,y) =  A\cos\left(\dfrac{2\pi}{4/3}t - \dfrac{2\pi}{20}x + \phi\right)
=
A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right)

También observamos en el dibujo (en x=0\,\mathrm{cm} en la línea continua) que la amplitud de la oscilación es A = 3.5\,\mathrm{cm} .


y(x,y) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right) \,(\mathrm{cm})

Y, por último, en ese mismo punto observamos que la constante de fase es nula φ = 0, pues en x = 0 y t = 0 el valor de la perturbación es la propia amplitud


y(0.0) = A = A\cos(\phi) \Longrightarrow \cos\phi=1 \Longrightarrow \phi = 0

Por tanto, la forma de la función de onda es


y(x,y) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x \right) \,(\mathrm{cm})

Para calcular la velocidad de cada punto calculamos la derivada respecto del tiempo


v_y(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t} = -1.5\pi\,A\,\mathrm{sen}\,\left(1.5\pi t - 0.1\pi x \right) \,(\mathrm{cm/s})

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos


v_y(0,0.80) = 9.7\,\mathrm{cm/s}.

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