Barra girando, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

La barra de la figura puede girar sobre su extremo inferior Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . La barra es homogénea, de lonigtud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} . En el instante inicial se encuentra en posición vertical $(\theta (0)=\pi /2)$. En ese instante empieza a moverse de modo que el extremo $A$ tiene una velocidad instantánea $v_{0}\,{\vec {\imath }}$.

1. Calcula la velocidad angular de la barra en el instante inicial.
2. Si $I$ es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular al plano $OXY$ y que pasa por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , encuentra la ecuación diferencial que describe el movimiento de la barra.
3. Encuentra la expresión que da la velocidad angular con la que gira la barra en función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .

Solución

Velocidad angular inicial

El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } de la barra realiza un movimiento circular con velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \dot{\theta} }

En el movimiento circular, la velocidad lineal y la velocidad angular están relacionadas. En módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |v| = R|\dot{\theta}| }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R } el radio de la circunferencia. En este caso el radio es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=L } . La velocidad inicial tiene módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 } . Como se mueve hacia la derecha, el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } disminuye, es decir, la derivada ha de ser negativa. Por tanto, la velocidad angular inicial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0) = -\dfrac{v_0}{L} }

Ecuación de movimiento

La barra es un sólido rígido que realiza un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. Describimos su movimiento utilizando su momento cinético respecto al eje de rotación (el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } ). Como el eje es fijo, el momento cinético puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = I\,\vec{\omega} = I\,\dot{\theta}\,\vec{k} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I } es el momento de inercia de la barra respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } .

La variación en el tiempo del momento cinético viene dado por el momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la barra respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O }

Las fuerzas que actúan sobre la barra son su peso, aplicado en su centro de masas, y la reacción vincular en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . Como se ve en la figura, sólo el peso ejerce momento respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O = \overrightarrow{OG}\times\vec{P} = \left(\dfrac{1}{2}L\cos\theta\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\right) \times \left(-Mg\,\vec{\jmath}\right) = -\dfrac{MgL}{2}\cos\theta\,\vec{k} }

La derivada del momento cinético puede escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = I\ddot{\theta}\,\vec{k} }

Igualando al momento neto, y teniendo en cuenta que al ser los dos vectores colineales podemos trabajar con sus componentes, obtenemos la ecuación diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{MgL}{2I}\cos\theta }

Las condiciones iniciales en este problema en concreto son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0) = \pi/2, \qquad\qquad \dot{\theta}(0) = -v_0/L }

Velocidad angular en función del ángulo

La ecuación diferencial anterior es difícil de resolver. Pero podemos obtener la velocidad angular en función del ángulo con razonamientos energéticos. La única fuerza que realiza trabajo, el peso, es conservativa, por lo que se conserva la energía mecánica. Escogiendo como origen de energía potencial gravitatoria la altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0 } , la energía potencial gravitatoria de la barra viene dada por la altura de su centro de masas. En el instante inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g(0) = \dfrac{1}{2}MgL }

La energía cinética inicial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T(0) = \dfrac{1}{2}I\omega^2(0) = \dfrac{Iv_0^2}{2L^2} }

Por tanto la energía mecánica es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = U_g(0) + T(0) = \dfrac{1}{2}MgL + \dfrac{Iv_0^2}{2L^2} }

Para un ángulo cualquiera la energía potencial gravitatoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g(\theta) = \dfrac{1}{2}MgL\,\mathrm{sen}\,\theta }

y la energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T(\theta) = \dfrac{1}{2}I\omega^2(\theta) }

con lo que la energía mecánica es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = \dfrac{1}{2}MgL\,\mathrm{sen}\,\theta + \dfrac{1}{2}I\omega^2(\theta) }

Igualando las dos expresiones de energía mecánica y despejando la velocidad angular obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega(\theta) = \sqrt{\dfrac{v_0^2}{L^2} + \dfrac{MgL}{I}\,(1-\mathrm{sen}\,\theta)} }