Barra articulada en otra barra, Noviembre 2012 (G.I.C.)
Enunciado
Una barra de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . En su otro extremo se articula otra barra de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} que a su vez gira en con la misma velocidad angular.
- Expresa el vector de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}} en función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} de la figura.
- Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\omega} y el módulo de la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , encuentra el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} .
- Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} .
- Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.
Solución
Vector de posición
El vector de posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} puede construirse como la suma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath} }
Por otro lado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AP} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\cos\theta\,\vec{\jmath} }
Por tanto el vector buscado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = R\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta\,)\,\vec{\imath} + R\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath} }
Velocidad angular
Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} = -R\,\dot{\theta}\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\imath} + R\,\dot{\theta}\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath} }
El módulo de este vector es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = R\,\dot\theta\,\sqrt{\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta + 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta + \mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta - 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta } =\sqrt{2}\,R\,\dot{\theta} =\sqrt{2}\,R\,\omega }
El enunciado nos dice que este módulo vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 } . Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}\,R} }
Vector normal
Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 } es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\omega } es constante tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}= \dot{\vec{v}} = -R\,\dot{\theta}^2\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} -R\,\dot{\theta}^2\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath} }
El vector normal es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{2}\,R\,\omega^2 }
Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}= \dfrac{\mathrm{sen}\,\theta-\cos\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{\cos\theta + \mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath} }
Curvatura
La curvatura es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa = \dfrac{a_N}{v^2} }
En este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_N = |\vec{a}|=\sqrt{2}\,R\,\omega^2 } . Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa = \dfrac{1}{\sqrt{2}\,R} }
Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}\,R } .
