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Barra articulada en otra barra, Noviembre 2012 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra de radio R gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto O. En su otro extremo se articula otra barra de longitud R que a su vez gira en con la misma velocidad angular.

  1. Expresa el vector de posición \overrightarrow{OP} en función del ángulo θ de la figura.
  2. Si \dot{\theta}=\omega y el módulo de la velocidad del punto P es v0, encuentra el valor de ω.
  3. Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de P.
  4. Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.

2 Solución

2.1 Vector de posición

El vector de posición del punto P puede construirse como la suma


\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}

Tenemos


\overrightarrow{OA} = R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

Por otro lado


\overrightarrow{AP} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\cos\theta\,\vec{\jmath}

Por tanto el vector buscado es


\overrightarrow{OP} = R\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta\,)\,\vec{\imath} 
+ R\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}

2.2 Velocidad angular

Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad


\vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} = 
-R\,\dot{\theta}\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\imath}
+
R\,\dot{\theta}\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}

El módulo de este vector es


|\vec{v}| = R\,\dot\theta\,\sqrt{\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta + 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta +
\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta - 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
}
=\sqrt{2}\,R\,\dot{\theta} 
=\sqrt{2}\,R\,\omega

El enunciado nos dice que este módulo vale v0. Por tanto


\omega = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}\,R}

2.3 Vector normal

Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que v0 es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso \dot{\theta}=\omega es constante tenemos


\vec{a}= \dot{\vec{v}} =
-R\,\dot{\theta}^2\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}
-R\,\dot{\theta}^2\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}

El vector normal es


\vec{N} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

Tenemos


|\vec{a}| = \sqrt{2}\,R\,\omega^2

Por tanto


\vec{N}=
\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta-\cos\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}
-
\dfrac{\cos\theta + \mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}

2.4 Curvatura

La curvatura es


\kappa = \dfrac{a_N}{v^2}

En este caso a_N = |\vec{a}|=\sqrt{2}\,R\,\omega^2 . Por tanto


\kappa = \dfrac{1}{\sqrt{2}\,R}

Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio \sqrt{2}\,R .

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