Enunciado

Una barra de radio gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto . En su otro extremo se articula otra barra de longitud que a su vez gira en con la misma velocidad angular.

  1. Expresa el vector de posición en función del ángulo de la figura.
  2. Si y el módulo de la velocidad del punto es , encuentra el valor de .
  3. Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de .
  4. Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.

Solución

Vector de posición

El vector de posición del punto puede construirse como la suma

Tenemos

Por otro lado

Por tanto el vector buscado es

Velocidad angular

Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad

El módulo de este vector es

El enunciado nos dice que este módulo vale . Por tanto

Vector normal

Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso es constante tenemos

El vector normal es

Tenemos

Por tanto

Curvatura

La curvatura es

En este caso . Por tanto

Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio .