Una barra de radio gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto . En su otro extremo se articula otra barra de longitud que a su vez gira en con la misma velocidad angular.
Expresa el vector de posición en función del ángulo de la figura.
Si y el módulo de la velocidad del punto es , encuentra el valor de .
Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de .
Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.
Solución
Vector de posición
El vector de posición del punto puede construirse como la suma
Tenemos
Por otro lado
Por tanto el vector buscado es
Velocidad angular
Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad
El módulo de este vector es
El enunciado nos dice que este módulo vale . Por tanto
Vector normal
Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso es constante tenemos
El vector normal es
Tenemos
Por tanto
Curvatura
La curvatura es
En este caso . Por tanto
Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio .