Barra articulada rotando en el espacio(MR G.I.C.)

Enunciado

Una barra homogénea de longitud $L$, masa $M$ y radio despreciable está articulada en $O$, moviéndose en el espacio tridimensional $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ con su posición descrita mediante las coordenadas $\{\psi ,\theta \}$, ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes $OX_{2}Y_{2}Z_{2}$ solidarios con la barra como se indica en la figura, y unos ejes auxiliares intermedios $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$.

1. Encuentra la expresión del momento cinético ${\vec {L}}_{O}$ de la barra.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética $T$ de la barra.

Solución

La barra rota alrededor del punto fijo $O$. Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }},\qquad T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}$

Usamos la descomposición de movimientos $\{21\}=\{20\}+\{01\}$ para escribir el vector rotación de la barra respecto a los ejes fijos:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

Observando la figura tenemos

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{2},\qquad {\vec {\omega }}_{01}={\dot {\psi }}\,{\vec {k}}_{0}$

El tensor de inercia es fácil de expresar en la base del sólido "2"

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]_{2}$

con

$I={\dfrac {1}{3}}ML^{2}$

Para poder hacer el producto el tensor de inercia y el vector rotación tienen que estar expresados en la misma base. Usando la figura de la derecha tenemos

${\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\jmath }}_{2}\qquad {\vec {k}}_{0}=-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\cos \theta {\vec {\jmath }}_{2}$

con lo que el vector rotación expresado en la base "2" queda

${\vec {\omega }}_{21}=\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\{\dot {\theta }}\\{\dot {\psi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}$

El momento angular en $O$ es

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\{\dot {\theta }}\\{\dot {\psi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}=\left[{\begin{array}{c}-I{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\I{\dot {\theta }}\\0\end{array}}\right]_{2}$

La energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{O}={\dfrac {1}{2}}\left[{\begin{array}{ccc}-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\theta ,&{\dot {\theta }},&{\dot {\psi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-I{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\I{\dot {\theta }}\\0\end{array}}\right]_{2}={\dfrac {1}{2}}\,I\,({\dot {\psi }}^{2}\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2})$