Barra articulada rotando en el espacio(MR G.I.C.)

Enunciado

Una barra homogénea de longitud $L$, masa $M$ y radio despreciable está articulada en $O$, moviéndose en el espacio tridimensional $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ con su posición descrita mediante las coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\psi,\theta\}} , ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2Y_2Z_2} solidarios con la barra como se indica en la figura, y unos ejes auxiliares intermedios Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} .

1. Encuentra la expresión del momento cinético Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O} de la barra.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} de la barra.

Solución

La barra rota alrededor del punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}, \qquad T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega} }

Usamos la descomposición de movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\}+\{01\} } para escribir el vector rotación de la barra respecto a los ejes fijos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} }

Observando la figura tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{2}, \qquad \vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{k}_{0} }

El tensor de inercia es fácil de expresar en la base del sólido "2"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset\leftrightarrow{I}_O = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]_2 }

con

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \dfrac{1}{3}ML^2 }

Para poder hacer el producto el tensor de inercia y el vector rotación tienen que estar expresados en la misma base. Usando la figura de la derecha tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_0 = \vec{\jmath}_2 \qquad \vec{k}_0 = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\vec{\jmath}_2 }

con lo que el vector rotación expresado en la base "2" queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \left[ \begin{array}{c} -\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \dot{\theta}\\ \dot{\psi}\cos\theta \end{array} \right]_2 }

El momento angular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21} = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]_2 \left[ \begin{array}{c} -\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \dot{\theta}\\ \dot{\psi}\cos\theta \end{array} \right]_2 = \left[ \begin{array}{c} -I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\ I\dot{\theta}\\ 0 \end{array} \right]_2 }

La energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_O = \dfrac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} -\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta, & \dot{\theta}, & \dot{\psi}\cos\theta \end{array} \right]_2 \left[ \begin{array}{c} -I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\ I\dot{\theta}\\ 0 \end{array} \right]_2 = \dfrac{1}{2}\,I\,(\dot{\psi}^2\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2) }