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Barra articulada rotando en el espacio(MR G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Una barra homogénea de longitud L, masa M y radio despreciable está articulada en O, moviéndose en el espacio tridimensional OX1Y1Z1 con su posición descrita mediante las coordenadas {ψ,θ}, ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes OX2Y2Z2 solidarios con la barra como se indica en la figura, y unos ejes auxiliares intermedios OX0Y0Z0.

  1. Encuentra la expresión del momento cinético \vec{L}_O de la barra.
  2. Encuentra la expresión de la energía cinética T de la barra.

2 Solución

La barra rota alrededor del punto fijo O. Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones


\vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega},
\qquad
T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}

Usamos la descomposición de movimientos {21} = {20} + {01} para escribir el vector rotación de la barra respecto a los ejes fijos:


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}

Observando la figura tenemos


\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{2},
\qquad
\vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{k}_{0}

El tensor de inercia es fácil de expresar en la base del sólido "2"


\overset\leftrightarrow{I}_O 
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]_2

con


I = \dfrac{1}{3}ML^2

Para poder hacer el producto el tensor de inercia y el vector rotación tienen que estar expresados en la misma base. Usando la figura de la derecha tenemos


\vec{\jmath}_0 = \vec{\jmath}_2
\qquad
\vec{k}_0 = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\vec{\jmath}_2

con lo que el vector rotación expresado en la base "2" queda


\vec{\omega}_{21} =
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\dot{\theta}\\
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2

El momento angular en O es


\vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1  & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\dot{\theta}\\
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
=
\left[
\begin{array}{c}
-I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
I\dot{\theta}\\
 0
\end{array}
\right]_2

La energía cinética es


T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_O
=
\dfrac{1}{2}
\left[
\begin{array}{ccc}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta, &
\dot{\theta}, &
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
-I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
I\dot{\theta}\\
 0
\end{array}
\right]_2
=
\dfrac{1}{2}\,I\,(\dot{\psi}^2\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2)

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