Hélice de un avión que gira (G.I.A.)

Enunciado

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro $C$ de su hélice describe una circunferencia de radio $L$. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es $R$, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$. Se pide

1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
2. Aplicando la composición de velocidades, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y aceleración ${\vec {a}}_{21}^{P}$ del punto más alto de la hélice (punto $P$ en la figura).
3. La reducción cinemática del movimiento {21} en $P$ y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
4. Calcule numéricamente $|{\vec {v}}_{21}^{P}|$ y $|{\vec {a}}_{21}^{P}|$ para los valores $R=1\,\mathrm {m}$, $L=100\,\mathrm {m}$, $\omega =100\,\mathrm {rad/s}$ y $\Omega =1\,\mathrm {rad/s}$.

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

Solución

Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta $OZ_{1}\equiv OZ_{0}$. El punto $O$ pertenece al eje de giro, por lo que ${\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}$. El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$. Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje $Z_{0}$. Por tanto la reducción en el punto $O$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}&&\Delta _{\mathrm {EPR} }\equiv OZ_{0}\equiv OZ_{1}\\&&\\{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}&&\end{array}}$

Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto $C$ pertenece al eje de giro, por lo que ${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$. En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a $OY_{0}$. Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$, la reducción en el punto $C$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}&&\Delta _{\mathrm {EIR} }\equiv CY_{0}\\&&\\{\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}&&\end{array}}$

Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

La composición de velocidades angulares es

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

Usando los calculos realizados tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0 }

Para la aceleración angular usamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} }

El enunciado nos dice que tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{01}|} como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{20}|} son constantes. Por tanto se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0} }

Calculando el producto vectorial resulta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 }

Calculamos ahora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^P} . Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\ &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\ &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}= (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0 }

Para calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^P} necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ccc} \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0} \end{array} }

Ahora podemos calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^P} usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\ &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= -R \omega^2\,\vec{k}_0\\ &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O} +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\ &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P = 2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

Resulta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0 }

Para encontrar el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}} , vamos a calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^O} , para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\ & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\ 0&\omega&\Omega\\ -L&0&-R \end{array} \right|= -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\ \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0 \end{array} }

Podemos encontrar un punto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}} usando la expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}= \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 }

La ecuación vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}= \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0) }

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2/(\omega^2+\Omega^2)<1} , el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^*} está sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} en un punto intermedio entre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0 }

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\neq0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^{\text{mín}}\neq0} el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509 \,\mathrm{km/h}\\ \\ |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4} = 1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2} \end{array} }

Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.