No Boletín - Placa triangular (Ex.Ene/16)

Enunciado

Una placa triangular $\,ABC\,$ (sólido "2"), equilátera de lado $\,L\,$, rota con velocidad angular constante $\,\Omega _{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado $\,AB\,$ de un armazón triangular hueco $\,ABO\,$ (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón $\,ABO\,$ se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano $\,O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $\,O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), y rota con velocidad angular constante $\,\omega _{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice $\,O\,$ (eje $\,O_{1}Z_{1}\,$). Sea $\,\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $\,OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular $\,ABO.\,$

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad $\,{\vec {v}}_{21}^{\,D}\,$ (ver $\,D\,$ en la figura)
2. Aceleración angular $\,{\vec {\alpha }}_{21}\,$
3. Aceleración $\,{\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ las reducciones cinemáticas del movimiento $\{01\}\,$ (en el punto $O\,$) y del movimiento $\{20\}\,$ (en el punto $D\!\,$), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,D}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OD}}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\overrightarrow {DO}}=-\,{\overrightarrow {OD}}=-\,\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

habiéndose tenido en cuenta que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1\,} ), y que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} es un punto fijo en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} porque pertenece a su eje permanente de rotación (recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,B\,} ).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega_0\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, D}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, D}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right. }

Velocidad {21} del punto D

Para determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, D}_{21}\,} , calculamos primero la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, D}_{01}\,} utilizando la ecuación del campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\{01\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, D}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0 }

Aceleración angular {21}

Determinamos la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \Omega_0\,\vec{\jmath}_0=\,-\,\omega_0\,\Omega_0\,\vec{\imath}_0 }

Aceleración {21} del punto O

La ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis) nos permite calcular la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\vec{a}^{\, O}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20} }

Determinamos, primero, la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{20}\,} (mediante la ecuación del campo de aceleraciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{DO}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,(\omega_{20}\,\times\,\overrightarrow{DO})=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left[\,\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0\right)\right]=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0 }

y, a continuación, el término de Coriolis:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DO})=2\,\omega_0\,\vec{k}_0\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\vec{0} }

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2 L\,\vec{\imath}_0 }