Enunciado
Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje {
,
} (con
); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje {
,
}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo
módulo:
, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.
- ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
- ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?
Solución
Tenemos la información necesaria para determinar los vectores
y
El enunciado nos proporciona sus módulos
, sus direcciones
; y
y sus correspondientes sentidos
y
. Así que:
La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:
Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.
NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.
Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas
como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de
nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos
y
. Así:
Error al representar (función desconocida «\timesL»): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=(\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO})+(\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{BO})=\Omega\,\vec{\jmath}\times(-L\,\vec{k}\,)+\Omega\,\vec{\imath}\timesL\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,) }
Calculamos ahora el segundo invariante:
Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:
{21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL
Obsérvese que la velocidad
ha resultado ser paralela a la velocidad angular
. Esto implica que el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas
. Por otra parte, la dirección del EIRMD{21} es la dirección del vector velocidad angular
. En definitiva, las ecuaciones del EIRMD{21} son:
Si por simple inspección no nos diésemos cuenta de que
y que, por tanto,
, lo detectaríamos al tratar de calcular un punto
perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual: