Enunciado
Barra rotando con muelle horizontal
El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido "2"), de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , y un resorte ideal de constante recuperadora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1} (sólido "1"). El otro extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . Se aplica un par motor externo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}=\tau\,\vec{k}_0} al sólido "2" que le obliga a rotar con velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\omega_0} constante.
- Obtén el valor de una integral primera del movimiento.
- Obtén el valor del par motor necesario para que se verifique el vínculo.
Solución
Integral primera en el movimiento descrito
Reutilizando los cálculos que hicimos en barra articulada rotando en el espacio, la reducción cinemática del movimiento absoluto de la barra es
Su energía cinética es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}I\,(\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2). \qquad (I = mL^2/3) }
El problema libre tiene dos grados de libertad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\phi, \theta \} } . Sin embargo, en este caso la rotación asociada a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi } está fijada por el vínculo cinemático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi} = \omega_0. }
Aplicando el vínculo, la energía cinética es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}I\,(\omega_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2). }
En este caso hay dos interacciones conservativas actuando sobre el muelle: la gravedad y el muelle. Podemos asociar una energía potencial a cada una de ellas. Tomando como referencia de altura para la energía potencial gravitatoria la del plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1 } tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} U_g = - m\vec{g}\cdot\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta, \\ U_m = \dfrac{1}{2}k |\overrightarrow{CA}|^2 = \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta. \end{array} }
Hemos usado que el muelle tiene longitud natural nula.
La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - (U_g + U_m) = \dfrac{1}{2}I\,(\omega_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2) - \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta - \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta. }
