Dinámica de masa en varilla articulada (CMR)

Enunciado

Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell} cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.

1. ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
2. Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
3. ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?

Ecuación de vínculo

La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{AP}|=\ell=\mathrm{cte}}

Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.

La posición de A es en todo momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1}

con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x-b\cos(\Omega t))^2+(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2}

Esta sería la forma geométrica.

Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2(x-b\cos(\Omega t))(\dot{x}+b\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-b\Omega\cos(\Omega t))=0}

Simplificando por 2 y agrupando términos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}(x-b\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0}

La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}t}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0}

Ecuación de movimiento

Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la posición, velocidad y aceleración de A son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2}

Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.

Para el punto P tenemos la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3}

la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3}

y la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3}

La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3}

Sustituimos la aceleración de P

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3}

Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de ${\vec {\jmath }}_{3}$. Queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0}

o, equivalentemente,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)}

Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.

Puntos de equilibrio

Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.

• Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0} representa un punto de equilibrio estable.
• Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi} representa un punto de equilibrio inestable.

Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.