Enunciado
Calcule el trabajo necesario para realizar cada una de las sustituciones descritas en el problema “Fuerza entre cargas en un triángulo”.
Solución
Podemos calcular el trabajo a partir de la diferencia en la energía almacenada en el sistema.
En cada uno de los estados, la energía de un sistema de tres cargas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|}+\frac{q_1q_3}{|\vec{r}_3-\vec{r}_1|}+\frac{q_2q_3}{|\vec{r}_3-\vec{r}_2|}\right)}
que, en este caso, por tratarse de un triángulo equilátero, se reduce a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 b}\left(s_1s_2 + s_1s_3+s_2s_3\right)}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_i = +1}
o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -1}
según el signo de la carga.
Así tenemos los siguentes procesos
Del estado A al B
En el estado inicial todas las cargas son positivas, por lo que la energía es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{\mathrm{e}A}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0b}(1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1)=\frac{3q^2}{4\pi\varepsilon_0 b}}
En el estado B tenemos dos cargas positivas y una negativa, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{\mathrm{e}B}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0b}(1\cdot 1+1\cdot (-1)+1\cdot (-1))=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 b}}
lo que nos da el trabajo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{A\to B}=U_{\mathrm{e}B}-U_{\mathrm{e}A}=-\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0b}}
Del estado B al C
En el estado C tenemos dos una carga positiva y dos negativas, por lo que la nueva energía vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{\mathrm{e}B}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0b}(1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1))=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 b}}
y, por tanto,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{B\to C}= 0}
Del estado C al D
Por último, en el estado D todas las cargas son negativas y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{\mathrm{e}B}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0b}((-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1))=\frac{3q^2}{4\pi\varepsilon_0 b}}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{C\to D}=U_{\mathrm{e}D}-U_{\mathrm{e}C}=+\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0b}}
