No Boletín - Afirmación falsa (Ex.Nov/16)

Enunciado

En un triedro cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ\,} se consideran los siguientes puntos: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(0,0,0)\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(2,4,0)\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(0,2,2)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C(-1,0,p)\,} .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}\,} constituyen una base si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p\neq 2\,}

(2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\,} son ortogonales si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p= 4\,}

(3) ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {AB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$ son coplanarios si $p=1\,$

(4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\,} son paralelos si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p= 2\,}

Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(2,4,0)\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\, B(0,2,2)\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;\,\,\,\, C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k} }

Y por otra parte:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-2\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+(\mathrm{p}-2)\,\vec{k} }

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,\cdot\,\overrightarrow{BC}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,[\,2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,]\cdot[\,-\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,(\mathrm{p}-2)\,\vec{k}\,]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2\,\mathrm{p}\,-\,8=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=4 }

Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Exigiendo la condición de paralelismo (producto vectorial nulo) a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,\times\,\overrightarrow{BC}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}-2) \end{array}\right|=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(4\,\mathrm{p}\,-\,8)\,\vec{\imath}\,+\,(-2\,\mathrm{p}\,+\,4)\,\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2 }

Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Exigiendo la condición de no coplanariedad (producto mixto no nulo) a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}\,} , se garantiza que dicha terna constituya una base:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,\cdot\,(\overrightarrow{OB}\,\times\,\overrightarrow{OC})\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & \mathrm{p} \end{array}\right|\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,4\,\mathrm{p}\,-\,8\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}\neq 2 }

Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por último, exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,\cdot\,(\overrightarrow{AB}\,\times\,\overrightarrow{BC})= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} 2 & 4 & 0 \\ -2 & -2 & 2 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}\,-\,2) \end{array}\right|=4\,\mathrm{p}\,-\,8= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2 }

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.