No Boletín - Afirmación falsa (Ex.Nov/16)

Enunciado

En un triedro cartesiano $OXYZ\,$ se consideran los siguientes puntos: $O(0,0,0)\,$, $A(2,4,0)\,$, $B(0,2,2)\,$ y $C(-1,0,p)\,$.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

(1) ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {OB}}\,$ y ${\overrightarrow {OC}}\,$ constituyen una base si $p\neq 2\,$

(2) ${\overrightarrow {OB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$ son ortogonales si $p=4\,$

(3) ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {AB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$ son coplanarios si $p=1\,$

(4) ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$ son paralelos si $p=2\,$

Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

$A(2,4,0)\,\,\longrightarrow \,\,{\overrightarrow {OA}}=2\,{\vec {\imath }}\,+\,4\,{\vec {\jmath }}\,;\,\,\,\,B(0,2,2)\,\,\longrightarrow \,\,{\overrightarrow {OB}}=2\,{\vec {\jmath }}\,+\,2\,{\vec {k}}\,;\,\,\,\,C(-1,0,\mathrm {p} )\,\,\longrightarrow \,\,{\overrightarrow {OC}}=-\,{\vec {\imath }}\,+\,\mathrm {p} \,{\vec {k}}$

Y por otra parte:

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=-2\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OB}}=-\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+(\mathrm {p} -2)\,{\vec {k}}$

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$:

${\overrightarrow {OB}}\,\cdot \,{\overrightarrow {BC}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,[\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,2\,{\vec {k}}\,]\cdot [\,-\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,(\mathrm {p} -2)\,{\vec {k}}\,]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,2\,\mathrm {p} \,-\,8=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {p} =4$

Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Exigiendo la condición de paralelismo (producto vectorial nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$:

${\overrightarrow {OA}}\,\times \,{\overrightarrow {BC}}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{rrc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&4&0\\-1&-2&(\mathrm {p} -2)\end{array}}\right|={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,(4\,\mathrm {p} \,-\,8)\,{\vec {\imath }}\,+\,(-2\,\mathrm {p} \,+\,4)\,{\vec {\jmath }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {p} =2$

Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Exigiendo la condición de no coplanariedad (producto mixto no nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {OB}}\,$ y ${\overrightarrow {OC}}\,$, se garantiza que dicha terna constituya una base:

${\overrightarrow {OA}}\,\cdot \,({\overrightarrow {OB}}\,\times \,{\overrightarrow {OC}})\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{rrc}2&4&0\\0&2&2\\-1&0&\mathrm {p} \end{array}}\right|\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,4\,\mathrm {p} \,-\,8\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {p} \neq 2$

Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por último, exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {AB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$:

${\overrightarrow {OA}}\,\cdot \,({\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {BC}})=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{rrc}2&4&0\\-2&-2&2\\-1&-2&(\mathrm {p} \,-\,2)\end{array}}\right|=4\,\mathrm {p} \,-\,8=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {p} =2$

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.