Problemas de dinámica vectorial (CMR)

Masa en plano inclinado

Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por un plano inclinado móvil, de masa $m_{0}$, altura h y ángulo de inclinación β, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. No hay fricción entre la cuña y el suelo horizontal

1. Suponga que $m_{0}\to {}\infty$. Para este caso, calcule la aceleración que adquiere la masa m y la cuña m_0, tanto en módulo como en forma vectorial en el sistema de referencia ligado al suelo. Calcule la fuerza de reacción que ejerce la cuña sobre la masa y el suelo sobre la cuña.
2. Suponga ahora que $m_{0}\to {}0$. Responda a las mismas cuestiones que en el apartado anterior.
3. Responda a las mismas cuestiones para una masa $m_{0}$ ni nula ni infinita. ¿Se reduce a los dos casos anteriores?
4. Demuestre que en este sistema se conserva la energía mecánica y la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
5. Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento μ entre la masa y la cuña.
   1. ¿Cómo queda la solución general en ese caso?
   2. ¿Se conserva la energía mecánica?
   3. ¿Y la componente horizontal de la cantidad de movimiento?

Solución

Anilla ensartada en dos varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m,

1. despreciando el peso,
2. considerando el peso en la dirección de OY negativo.

Suponga que no hay rozamiento, por lo que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Solución

Sistema de poleas y masas

Se tiene el sistema de poleas y masas de la figura.

1. ¿Cuál es la ecuación de vínculo entre las coordenadas de las tres masas?
2. Calcule la aceleración de cada una de las masas
3. Calcule la tensión de la cuerda y la fuerza que realizan los soportes de las dos poleas pequeñas.

Solución

Anilla ensartada en un aro giratorio

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio R que puede girar alrededor del eje OZ (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud R, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.

1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
2. Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante ${\dot {\phi }}=\Omega$ alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo ϕ, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
   1. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
   2. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo ϕ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas φ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante ${\dot {\phi }}=\Omega$. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Solución

Partícula en cono

Una partícula está obligada a moverse por la superficie interior de un cono que tiene su vértice en el origen y que tiene un semiángulo de apertura β, es decir, la superficie del cono es, en cilíndricas $z=\rho /\tan(\beta )$. La partícula se mueve sin rozamiento por esta superficie y se halla sometida a la acción de la gravedad, que va en la dirección y sentido del eje OZ negativo

1. Obtenga las ecuaciones de movimiento para esta partícula, empleando como coordenadas las cilíndricas, introduciendo las fuerzas de reacción oportunas.
2. Reduzca este sistema a dos ecuaciones, una para la distancia al vértice, $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ y otra para el ángulo θ, de manera que no aparezcan ρ, z ni la tensión.
3. ¿A qué velocidad debe moverse la partícula si se desea que describa un movimiento circular horizontal, a una altura H respecto al vértice? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción en ese caso?
4. Supongamos que parte de una altura H con una velocidad horizontal menor que la del apartado anterior. ¿Cuánto vale la mínima altura a la que llega la partícula?

Solución

Varilla apoyada en una esquina

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla está apoyada en el suelo y en una pared vertical, formando la varilla un ángulo θ con la vertical. Todo el sistema está contenido en el plano vertical OXY

1. Suponga que el sistema está en equilibrio. Calcule el mínimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento μ entre la varilla y el suelo para que esto ocurra. Para esta situación, ¿cuánto valen las reacciones normales del suelo y la pared, la fuerza de rozamiento y la tensión de la varilla?
2. Suponga que no existe rozamiento y que la varilla va cayendo apoyada en el suelo y la pared. Para el momento en que la varilla forma un ángulo θ con la vertical y este ángulo varía con una velocidad ${\dot {\theta }}$, ¿cuánto valen las reacciones y la tensión?
3. Determine la ecuación de movimiento para la varilla.
4. Si inicialmente la varilla se encuentra en reposo en posición vertical y a partir de ahí comienza a deslizar, ¿para qué ángulo se separa de la pared?

Solución