Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)

Rotaciones finitas sucesivas de 90°

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1} . ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
2. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1} y a continuación +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} ?
3. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} y a continuación +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2} ?
4. Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} ; 2º +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1} ) y a continuación se gira −90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} seguido de −90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1} , ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

Solución

Rotaciones finitas sucesivas

¿Cómo quedan los resultados del problema anterior si los giros no son de +90° sino de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\arctan(3/4)} ? (recomendable hacer los cálculos con ayuda de un ordenador).

Solución

Composición de dos rotaciones de 90°

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1} . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
2. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1} . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
3. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1} y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OZ}_1} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1} . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?

Solución

Velocidad relativa de dos vagones

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “3”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{31}^B=v_0 \vec{\imath}} . El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=b\vec{\jmath}} . Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante. Halle las velocidades relativas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{23}^A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{32}^B} en los siguientes casos:

1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
2. La vagoneta B se mueve por una vía circular de radio R, mientras que A se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios R y R+b, respectivamente.
4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado.
5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos.

(1)	(2)
(3)	(4)	(5)

Solución

Peonza rodante oblicua

Una peonza está formada por una varilla de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=20\,\mathrm{cm}} ensartada en un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=15\,\mathrm{cm}} . Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} con rapidez Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=48\,\mathrm{cm/s}} . El disco rueda sin deslizar sobre el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} , de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula. Para este movimiento, determine:

1. La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.
2. La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 25\vec{k}\,\mathrm{cm}} , considerado como punto del sólido.
3. La aceleración angular del sólido.
4. La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

 

Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “0” que simplemente gira en torno al eje OZ_1, de manera que el eje OX_0 siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

Solución

Peonza rodante horizontal

Un disco de radio R (“sólido 3”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 2”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2} es a lo largo de la barra horizontal y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OZ}_2={OZ}_1} en todo momento. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi(t)} el ángulo que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2} forma con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1} . En un instante dado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi=0\,} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\Omega} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\phi}=\alpha} . Para ese instante:

1. Determine los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{32}} .
2. Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {21}, {32} y {31}.
3. Calcule las velocidades en el movimiento {31} y el {21} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
4. Halle las aceleraciones angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{32}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{31}} .
5. Calcule las aceleraciones en los movimientos {31} y {32} de los puntos A, G y D del apartado (3).

Solución