Rotaciones finitas sucesivas de 90° (CMR)

Enunciado

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación +90° en torno a ${OX}_{1}$. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
2. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OX}_{1}$ y a continuación +90° en torno a ${OY}_{1}$?
3. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación +90° en torno a ${OX}_{2}$?
4. Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a ${OY}_{1}$; 2º +90° en torno a ${OX}_{1}$) y a continuación se gira −90° en torno a ${OY}_{1}$ seguido de −90° en torno a ${OX}_{1}$, ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

Introducción

En este problema tenemos una sucesión de rotaciones de 90°. Estas relaciones se pueden analizar viendo como se transforman las bases o mediante métodos matriciales.

En general, para una rotación alrededor del eje OX tenemos la siguiente matriz de rotación que nos da las coordenadas en el sistema dijo partiendo de las que tiene en el sistema ligado

${\bar {\bar {R}}}_{x}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\phi )&-\mathrm {sen} (\phi )\\0&\mathrm {sen} (\phi )&\cos(\phi )\end{pmatrix}}$

Para una rotación en torno a OY

${\bar {\bar {R}}}_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}\cos(\phi )&0&\mathrm {sen} (\phi )\\0&1&0\\-\mathrm {sen} (\phi )&0&\cos(\phi )\end{pmatrix}}$

y para una en torno a OZ

${\bar {\bar {R}}}_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}\cos(\phi )&-\mathrm {sen} (\phi )&0\\\mathrm {sen} (\phi )&\cos(\phi )&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

En el caso particular de rotaciones de +90°, esta matrices se reducen a

${\bar {\bar {R}}}_{x}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad {\bar {\bar {R}}}_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad {\bar {\bar {R}}}_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Cuando las rotaciones son de −90° las matrices correspondientes son las inversas, que en el caso de una rotación coinciden con las traspuestas.

Primer caso

Matriz de rotación

Si primero giramos en torno a ${OY}_{1}$ y en segundo lugar alrededor de ${OX}_{1}$, ambos del mismo sistema fijo, las matrices deben multiplicarse con la primera rotación a la derecha

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{x}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{y}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

Gráficamente, podemos ver que transformación de las bases es la siguiente. La primera rotación lleva de la base 1 a la 2, y la 2ª de la 2 a la 3.

    

En forma vectorial

${\begin{array}{ccccc}{\vec {\imath }}_{3}&=&{\vec {\jmath }}_{2}&=&{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {\jmath }}_{3}&=&-{\vec {\imath }}_{2}&=&{\vec {k}}_{1}\\{\vec {k}}_{3}&=&{\vec {k}}_{2}&=&{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Eje de rotación

El eje de rotación de este giro compuesto es el autovector que corresponde al autovalor unidad, es decir, cumple

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

lo que nos da el sistema

$u_{z}=u_{x}\qquad \qquad u_{x}=u_{y}\qquad \qquad u_{y}=u_{z}$

Por tanto, los puntos del eje son aquellos de la forma

${\overrightarrow {OE}}=\lambda ({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1}+{\vec {k}}_{1})$

Alternativamente, pueden hallarse estos puntos buscando qué vectores tienen las mismas componentes en la base final y la inicial.

Ángulo girado

El ángulo girado lo obtenemos analizando qué le ocurre a un vector perpendicular al eje. Un vector de este tipo puede ser el

${\vec {A}}={\vec {\imath }}_{1}-{\vec {\jmath }}_{1}$

Tras la rotación se transforma en

${\vec {A}}^{\prime }={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

Alternativamente, puede calcularse el resultado transformando la base

${\vec {A}}^{\prime }={\vec {\imath }}_{3}-{\vec {\jmath }}_{3}={\vec {\jmath }}_{1}-{\vec {k}}_{1}$

El ángulo que forma el vector original con el resultado de la rotación lo da

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}^{\prime }}{|{\vec {A}}|\,|{\vec {A}}^{\prime }|}}=-{\frac {1}{2}}$

luego el ángulo girado es 120°.

Segundo caso

Matriz de rotación

En el segundo caso, se efectúan las mismas dos rotaciones, pero en orden inverso. En ese caso, el producto de las dos matrices no da el mismo resultado

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{y}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{x}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Gráficamente, la relación entre bases

    

En forma vectorial

${\begin{array}{ccccc}{\vec {\imath }}_{3}&=&-{\vec {\jmath }}_{2}&=&-{\vec {k}}_{1}\\{\vec {\jmath }}_{3}&=&{\vec {\imath }}_{2}&=&{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {k}}_{3}&=&{\vec {k}}_{2}&=&-{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Eje de rotación

El eje de rotación de este giro compuesto es el autovector que corresponde al autovalor unidad

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

lo que nos da

$u_{y}=u_{x}\qquad \qquad -u_{z}=u_{y}\qquad \qquad -u_{x}=u_{z}$

Por tanto, los puntos del eje son aquellos de la forma

${\overrightarrow {OE}}=\lambda ({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1}-{\vec {k}}_{1})$

Alternativamente, pueden hallarse estos puntos buscando qué vectores tienen las mismas componentes en la base final y la inicial.

Ángulo girado

El ángulo girado lo obtenemos analizando qué le ocurre a un vector perpendicular al eje. Un vector de este tipo puede ser el

${\vec {A}}={\vec {\imath }}_{1}-{\vec {\jmath }}_{1}$

Tras la rotación se transforma en

${\vec {A}}^{\prime }={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}}$

Alternativamente, puede calcularse el resultado transformando la base

${\vec {A}}^{\prime }={\vec {\imath }}_{3}-{\vec {\jmath }}_{3}=-{\vec {k}}_{1}-{\vec {\imath }}_{1}$

El ángulo que forma el vector original con el resultado de la rotación lo da

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}^{\prime }}{|{\vec {A}}|\,|{\vec {A}}^{\prime }|}}=-{\frac {1}{2}}$

luego el ángulo girado es de nuevo 120°, pero alrededor de un eje distinto.

Tercer caso

El tercer caso parece una repetición del primero, pero en realidad es una copia del segundo. La razón es que el segundo giro se produce en torno al eje ${OX}_{2}$ (es decir, el resultado de la primera rotación) en lugar del ${OX}_{1}$. En ese caso el ordenamiento de las matrices se hace de izquierda a derecha

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{y}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{x}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Gráficamente, se puede observar cómo el resultado final es el mismo que en el caso anterior, pero no así el estado intermedio. Vemos que el segundo giro se produce alrededor de ${\vec {\imath }}_{2}$,

    

En forma vectorial

${\begin{array}{ccccc}{\vec {\imath }}_{3}&=&{\vec {\imath }}_{2}&=&-{\vec {k}}_{1}\\{\vec {\jmath }}_{3}&=&{\vec {k}}_{2}&=&{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {k}}_{3}&=&-{\vec {\jmath }}_{2}&=&-{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

El eje de rotación y el ángulo girado son, lógicamente, los mismos que en el apartado anterior.

Obsérvese que, si este proceso lo consideramos como una rotación sucesiva en torno a los ejes fijos, la segunda es una de +90° en torno a $-{\vec {k}}_{1}$ o, lo que es lo mismo, una de −90° en torno a $+{\vec {k}}_{1}$. En ese caso calcularíamos la matriz de la composición como

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{z}^{T}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{y}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Cuarto caso

Matriz de rotación

En el cuarto caso, parecería que al hacer dos rotaciones en un sentido y dos en el opuesto sus efectos se anularían, pero no es así, ya que el oren es importante.

as matrices correspondientes a las rotaciones inversas, de −90° son las traspuestas de las originales. Por tanto, la matriz resultante es

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{x}^{T}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{y}^{T}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{x}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{y}$

lo que da

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Gráficamente

        

En forma vectorial

${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\imath }}_{5}&=&-{\vec {k}}_{4}&=&-{\vec {\jmath }}_{3}&=&{\vec {\imath }}_{2}&=&-{\vec {k}}_{1}\\{\vec {\jmath }}_{5}&=&{\vec {\jmath }}_{4}&=&-{\vec {k}}_{3}&=&-{\vec {k}}_{2}&=&-{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {k}}_{5}&=&{\vec {\imath }}_{4}&=&{\vec {\imath }}_{3}&=&{\vec {\jmath }}_{2}&=&{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Eje de rotación

El eje de rotación es la solución de la ecuación

${\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

es decir

$-u_{y}=u_{x}\qquad \qquad u_{z}=u_{y}\qquad \qquad -u_{x}=u_{z}$

Por tanto, los puntos del eje son aquellos de la forma

${\overrightarrow {OE}}=\lambda (-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1}+{\vec {k}}_{1})$

Ángulo girado

Como en los casos anteriores, el ángulo girado es de 120°