Enunciado
Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1}
y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1}
por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1}
. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1}
y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1}
por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1}
. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OY}_1}
y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OZ}_1}
por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1}
. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
Introducción
Cuando se tiene una rotación alrededor del origen, la transformación entre las coordenadas de un punto en el sistema ligado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (X,Y,Z)}
y sus coordenadas en el sistema fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y,z)}
las da la matriz de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} }
Si los ejes de los dos sistemas son coincidentes inicialmente, lo que ocurre a menudo, esta ecuación también nos da la relación entre las coordenadas antes y después de la rotación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=\bar{\bar{R}}\cdot\vec{r}_0}
o, usando vectores de posición relativa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}^{\prime}=\bar{\bar{R}}\cdot\overrightarrow{OP}}
Si la rotación no se produce alrededor del origen sino de un eje que pasa por un punto E, la expresión es la misma, pero respecto a dicho punto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{EP}^{\prime}=\bar{\bar{R}}\cdot\overrightarrow{EP}}
o, empleando coordenadas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x-x_E\\ y-y_E\\ z-z_E\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X-x_E\\ Y-y_E\\ Z-z_E\end{pmatrix} }
o, equivalentemente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_E\\ y_E\\ z_E\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X-x_E\\ Y-y_E\\ Z-z_E\end{pmatrix} }
es decir,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1 = \vec{r}_E+\bar{\bar{R}}\cdot(\vec{r}_0-\vec{r}_E)=\left(\bar{\bar{1}}-\bar{\bar{R}}\right)\cdot\vec{r}_E + \bar{\bar{R}}\cdot\vec{r}_0}
Al final, como siempre, el movimiento se reduce a una rotación seguida de una traslación.
Si ahora tenemos dos movimientos consecutivos, basta aplicar primero uno, para obtener un punto intermedio, y luego aplicar el segundo movimiento a éste.
Si la primera rotación es en torno al origen, el efecto de la segunda es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1 = \left(\bar{\bar{1}}-\bar{\bar{R}}_2\right)\cdot\vec{r}_E + \left(\bar{\bar{R}}_2\cdot\bar{\bar{R}}_1\right)\cdot\vec{r}_0}
Es decir, la rotación total es la composición de las dos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}=\bar{\bar{R}}_2\cdot\bar{\bar{R}}_1}
y la traslación es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\vec{r}=\left(\bar{\bar{1}}-\bar{\bar{R}}_2\right)\cdot\vec{r}_E}
Primer caso
Una rotación de un ángulo θ en torno al eje OY se realiza mediante la matriz
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}_y=\begin{pmatrix}\cos(\theta)& 0&\mathrm{sen}(\theta)\\ 0&1&0\\ -\mathrm{sen}(\theta)&0&\cos(\theta)\end{pmatrix}}
que para el caso de una rotación de +90°ree; se reduce a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}_y=\begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}}
y para una de −90°ree;
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}_y^T=\begin{pmatrix}0& 0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}}
Según esto, el resultado de la primera rotación es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}Z\\ Y\\ -X\end{pmatrix}}
El de la segunda, alrededor de un eje por (b,0,0) es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Z-b\\ Y\\ -X\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X+b\\ Y\\ Z-b\end{pmatrix}}
Por tanto, el resultado neto de los dos movimientos es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b\\ 0\\ -b\end{pmatrix}}
es decir, una traslación,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{r}_0+\Delta\vec{r}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=b\vec{\imath}_1-b\vec{k}_1}
Directamente podemos verlo empleando las fórmulas del final del apartado anterior. La composición de rotaciones es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}=\bar{\bar{R}}_y^T\cdot\bar{\bar{R}}_y^T = \bar{\bar{1}}}
resulta la unidad pues se anulan mutuamente.
La traslación es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\vec{r}=\left(\bar{\bar{1}}-\bar{\bar{R}}_2\right)\cdot\vec{r}_E= \left(\begin{pmatrix}1& 0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0& 0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0&1\\ 0&0&0\\ -1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\ 0\\ -b\end{pmatrix}}
Segundo caso
En el segundo caso tenemos dos rotaciones en el mismo sentido. Al aplicar la primera rotación tenemos, como antes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}Z\\ Y\\ -X\end{pmatrix}}
y en la segunda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Z-b\\ Y\\ -X\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-X\\ Y\\ -Z+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-X+b\\ Y\\ -Z+b\end{pmatrix}}
Si escribimos este resultado en forma matricial queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ 0\\ b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1& 0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} }
Esta matriz corresponde a un giro de 180° alrededor del eje OY seguida de una traslación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{r}=b\vec{\imath}_1+b\vec{k}_1}
El desplazamiento en la dirección del eje de giro (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1}
) es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=\vec{r}\cdot\vec{u}=\left(b\vec{\imath}_1+b\vec{k}_1\right)\cdot\vec{\jmath}_1 = 0}
y por tanto el movimiento es una rotación pura. Es fácil comprobar que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(-b/2,0,-b/2)}
es un punto fijo, no afectado por la transformación y, por tanto, por él pasa el eje.
Tercer caso
En el tercer caso, la segunda rotación es alrededor de un eje paralelo a OZ. En general, la matriz de rotación para este eje es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}_z=\begin{pmatrix}\cos(\theta)& -\mathrm{sen}(\theta) & 0\\ \mathrm{sen}(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1 \end{pmatrix}}
que, para un ángulo de −90° queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{R}}_z=\begin{pmatrix}0& 1 & 0\\ -1&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix}}
En este caso, la primera rotación es la misma que en los dos casos anteriores
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}Z\\ Y\\ -X\end{pmatrix}}
y en la segunda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Z-b\\ Y\\ -X\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}Y\\ -Z+b\\ -X\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}Y+b\\ -Z+b\\ -X\end{pmatrix}}
Si escribimos este resultado en forma matricial queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ b\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 1&0\\ 0&0&-1\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} }
El eje de esta rotación lo da el autovector correspondiente al autovalor unidad, que en este caso es, una vez normalizado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{\imath}_1+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{\jmath}_1-\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k}_1}
El desplazamiento en la dirección del eje es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=\Delta\vec{r}\cdot\vec{u}=\frac{2b}{\sqrt{3}}}
Al no ser nulo, el movimiento es helicoidal.
