Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante (GIA)

Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} x(t) = r(t)\,\cos(\omega t)&\qquad\qquad& y(t) = r(t)\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \end{matrix} }

1. Halla la ecuación diferencial que cumple la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(t)} sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
2. Comprueba que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(t) = A\,e^{\omega t} }

es una solución de la ecuación para $r(t)$.

1. Para esta solución particular
   1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de $r=b$ a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=2b} .
   3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo u comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

Solución

Ecuaciones de movimiento

La ecuación de movimiento es la Segunda Ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,\vec{a} = \sum\limits_{i=1}^n\vec{F}_i + \sum\limits_{j=i}^s\vec{\Phi}_j }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_i } son las fuerzas activas y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}_j } son las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre las partículas.

En este problema no hay fuerzas activas, pues no se habla del peso. La única fuerza que actúa sobre la partícula es la fuerza de reacción vincular, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} } , que ejerce sobre ella el tubo cuando gira, obligándola a permanecer dentro de él. El enunciado dice que el vínculo es liso. Esto quiere decir que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} } es perpendicular al tubo. Por tanto la segunda Ley de Newton queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,\vec{a} = \vec{\Phi} }

Vamos a resolver el problema usando coordenadas polares. En estas coordenadas los vectores de posición, velocidad y aceleración son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \\ \vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

Artículo completo: Coordenadas polares

En este problema la partícula está obligada a permanecer dentro del tubo, y este gira con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega } . Por tanto, la variación del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } con el tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \omega\,t }

Hemos tomado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0)=0 } para simplificar. Por tanto, en este caso las expresiones de la posición, la velocidad y la aceleración quedan

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \\ \vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\omega\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\omega^2)\,\vec{u}_{\rho} + 2\,\dot{\rho}\,\omega\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

La expresión de la fuerza de reacción vincular en coordenadas polares, al ser perpendicular al tubo, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} = \Phi\,\vec{u}_{\theta} }

La Segunda Ley de Newton, que es una ecuación vectorial, da lugar en este caso a dos ecuaciones escalares, una por cada componente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a} = \vec{\Phi} \rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \vec{u}_{\rho} & \to & m(\ddot{\rho}-\rho\,\omega^2)=0 \\ & & \\ \vec{u}_{\theta} & \to & 2\,m\,\dot{\rho}\,\omega = \Phi \end{array} \right. }

Resolviendo la primera ecuación obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } . Una vez conocida esta, la segunda ecuación nos da la expresión de la fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi(t) } .

Resolución de la ecuación diferencial

Solución general

La ecuación diferencial para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\rho} = w^2\,\rho }

Puede comprobarse que las funciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{\omega t} } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\omega t} } son solución de esta ecuación. Por tanto, la solución general es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) = A\,e^{\omega t} + B\,e^{\omega t} }

Las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } se determinan a partir de las condiciones iniciales.

La solución general puede escribirse de una forma alternativa usando las definiciones del seno y coseno hiperbólicos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cosh(\alpha) = \dfrac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{2} \qquad\qquad \mathrm{senh}(\alpha) = \dfrac{e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2} }

De esta forma la solución general se puede escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) = a\,\cosh(\omega t) + b\,\mathrm{senh}(\omega t) }

Condiciones iniciales

Vamos a suponer que en el instante inicial el tubo es paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX } y la partícula está situada a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho_0 } del origen. Eso nos da una condición inicial sobre la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(0) = \rho_0\, }

Al empezar a girar el tubo, en un primer momento la partícula gira con él, por lo que la velocidad no tiene componente radial. Así pues,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\rho}(0)=0 }

Determinamos las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b } a partir de estas condiciones iniciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclcl} \rho(t) = a\,\cosh(\omega t) + b\,\mathrm{senh}(\omega t) &\to& \rho(0)=a=\rho_0 &\to& a = \rho_0 \\ &&&& \\ \dot{\rho}(t) = a\,\omega\,\mathrm{senh}(\omega t) + b\,\omega\,\cosh(\omega t) &\to& \dot{\rho}(0)=b\,\omega=0 &\to& b= 0 \end{array} }

Así pues, la evolución en el tiempo de la posición de la partícula, expresada en coordenadas polares, viene dada por las funciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) = \rho_0\cosh(\omega t) \qquad \qquad \theta(t) = \omega t }

Comportamiento asintótico

La función que da la evolución de la distancia de la partícula al origen puede escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) = \rho_0\cosh(\omega t) = \dfrac{\rho_0}{2}\left(e^{\omega t} + e^{-\omega t}\right) }

Al aumentar el tiempo, la primera exponencial crece, mientras que la segunda decrece. Vamos a ver que en un tiempo corto esta segunda exponencial puede despreciarse respecto a la primera. La escala de tiempo relevante es el tiempo que tarda el tubo en dar una vuelta. Si la velocidad angular es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega } este tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = 2\pi/\omega }

Vamos a ver el valor de las exponenciales para algunos valores de t

Tiempo	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{\omega t} }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\omega t} }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\omega t}/e^{\omega t} }
0	1	1	1
T/4	4.81	0.208	0.043
T/2	23.1	0.043	0.0019

Es decir, cuando el tubo ha dado simplemente media vuelta, el valor de la segunda exponencial es sólo un 0.19% del valor de la primera. Este factor se va haciendo más pequeño. Esto quiere decir que después de media vuelta del tubo, el valor de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } puede aproximarse con muy buena aproximación por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) \simeq \dfrac{1}{2}\rho_0\,e^{\omega t} }

Fuerza ejercida por el tubo

La ecuación obtenida de las componentes angulares de la Segunda Ley de Newton nos da el valor de la fuerza de reacción vincular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} = 2\,m\,\omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}\simeq m\,\rho_0\,\omega^2e^{\omega t}\,\vec{u}_{\theta} }

Hemos usado la aproximación asintótica de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } .

Potencia desarrollada sobre la partícula

Dada una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} } actuando sobre una partícula, la potencia que le transfiere en cada instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P = \vec{\Phi}\cdot\vec{v} }

En nuestro caso, usando coordenadas polares tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P = (\Phi\,\vec{u}_{\theta})\cdot(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}) =\rho\,\dot{\theta}\,\Phi }

En este problema, y utilizando la expresión asintótica de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \simeq \dfrac{1}{2}m\,\rho_0^2\,\omega^3\,e^{2\omega t} }

Trabajo realizado sobre la partícula entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=b } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=2b }

Vamos a calcular estre trabajo de dos formas, integrando la potencia en el tiempo e integrando el trabajo a partir de su definición

Integración de la potencia

La potencia instantánea se define como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(t) = \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} \Rightarrow \mathrm{d}W = P(t)\,\mathrm{d}t }

Como tenemos la expresión de la potencia instantánea en función del tiempo, tenemos que hacer la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{\rho=b}^{\rho=2b} = \int\limits_{t_b}^{t_{2b}}P(t)\,\mathrm{d}t }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_b } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_{2b} } son los instantes de tiempo en los cuales el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) } es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2b } , respectivamente. Para determinar estos valores usamos la expresión asintótica de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t) }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \rho(t_b) = \dfrac{1}{2}\rho_0\,e^{\omega t_b}=b & \to & t_b = \dfrac{1}{\omega}\ln\left(\dfrac{2b}{\rho_0}\right) \\ \\ \rho(t_{2b}) = \dfrac{1}{2}\rho_0\,e^{\omega t_{2b}}=2b & \to & t_{2b} = \dfrac{1}{\omega}\ln\left(\dfrac{4b}{\rho_0}\right) \end{array} }

Ahora podemos hacer la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} W_{\rho=b}^{\rho=2b}& = \int\limits_{t_b}^{t_{2b}}P(t)\,\mathrm{d}t\\ &\\ & = \int\limits_{t_b}^{t_{2b}}\dfrac{1}{2}m\,\rho_0^2\,\omega^3\,e^{2\omega t}\,\mathrm{d}t\\ &\\ & = \dfrac{1}{2}m\,\rho_0^2\,\omega^3\int\limits_{t_b}^{t_{2b}}\,e^{2\omega t}\,\mathrm{d}t\\ &\\ & = \dfrac{1}{4}m\,\rho_0^2\,\omega^2\left[e^{2\omega t}\right]_{t_b}^{t_{2b}} \end{array} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{2\omega t_b} = e^{2\ln\left(2b/\rho_0\right)} = \left(e^{\ln\left(2b/\rho_0\right)}\right)^2= \left(\dfrac{2b}{\rho_0}\right)^2 }

Operando igual para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{2\omega t_{2b}} } obtenemos para el trabajo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{\rho=b}^{\rho=2b} = 3\,m\,b^2\,\omega^2 }

Integración de la definición de trabajo

Al realizar un desplazamiento diferencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} } el trabajo realizado por la fuerza de reacción vincular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}W = \vec{\Phi}\cdot\mathrm{d}\vec{r} }

El desplazamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\,\mathrm{d}t = (\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})\,\mathrm{d}t }

Una derivada es un cociente entre dos incrementos muy pequeños. Podemos hacer entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\rho}\,\mathrm{d}t = \dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}\rho \qquad\qquad \dot{\theta}\,\mathrm{d}t = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}\theta }

Entonces el desplazamiento diferencial se puede expresar en función de las variaciones infinitesimales de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}\rho\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_{\theta} }

Entonces el trabajo realizado por la fuerza de reacción vincular en un tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}t } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}W = \vec{\Phi}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = (\Phi\,\vec{u}_{\theta})\cdot(\mathrm{d}\rho\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_{\theta}) = \Phi\,\rho\,\mathrm{d}\theta = 2\,m\,\omega\,\rho\,\dot{\rho}\,\mathrm{d}\theta }

Utilizando otra vez la idea de que la derivada es un cociente tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\rho}\,\mathrm{d}\theta = \dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}\rho\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}\rho\,\omega }

Por tanto el trabajo infinitesimal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}W = 2\,m\,\omega^2\,\rho\,\mathrm{d}\rho }

Ahora podemos calcular el trabajo en función del cambio en la coordenada radial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{\rho=b}^{\rho=2b} = \int\limits_b^{2b}2\,m\,\omega^2\,\rho\,\mathrm{d}\rho= m\,\omega^2\,\left[\rho^2\right]_b^{2b} =3\,m\,b^2\,\omega^2 }

Obtenemos el mismo resultado que con el método anterior.

Variación de la energía cinética

La energía cinética en cada instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m\,v^2 = \dfrac{m}{2}\left(\dot{\rho}^2+ \rho^2\dot{\theta}^2\right) \simeq \dfrac{m\,\rho_0^2\,\omega^2}{4}e^{2\omega t} }

donde hemos usado la solución asintótica. Como tenemos los instantes de tiempo que corresponden a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=b } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=2b } , podemos calcular la variación de energía cinética

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta T = T(t_{2b}) - T(t_b) = \dfrac{m}{2}\left(8\,b^2\,\omega^2 - 2\,b^2\,\omega^2\right) = 3\,m\,b^2\,\omega^2 }

Podemos comprobar que la variación de la energía cinética es igual al trabajo realizado por la fuerza de reacción vincular. Se verifica así el teorema de las fuerzas vivas.