(Página creada con «=Enunciado = right El disco plano de la figura, (sólido "2", masa <math>m</math>, radio <math>R</math>) desliza sin rozamiento sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano <math>OX_1Y_1</math>, rota alrededor el eje <math>OZ_0</math>. Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural…»)
El disco plano de la figura, (sólido "2", masa , radio ) desliza sin
rozamiento
sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que
rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano ,
rota alrededor el eje . Un muelle de constante elástica y longitud
natural conecta el punto con el centro del disco. En el instante inicial
se tiene , , , ,
.
Determina la reducción cinemática del centro de masas del sólido "2" (punto ) en su movimiento absoluto, así como su derivada temporal.
Encuentra la expresión de la energía cinética del disco, así como su momento cinético respecto a .
Haz la desvinculación global del disco en su centro de masas. Indica cuantas incógnitas hay en el problema y que ecuaciones usarías para resolverlo (no hace falta escribir las ecuaciones)
Encuentra y escribe dos integrales primeras del movimiento.
Solución
Reducciones cinemáticas
Movimiento {01}
Tenemos
Calculamos también la velocidad en el centro del disco.
Hemos usado
Calculamos la derivada temporal de la reducción cinemática
Hemos usado que . El punto es un punto fijo del movimiento en todo instante, por tanto
Calculamos la aceleración del centro del disco en este movimiento
Movimiento {20}
Reduciendo en el centro del disco
Calculamos la derivada temporal de la reducción cinemática
Para la aceleración del punto es
Movimiento {21}
Aplicamos la composición {21}={20}+{01}. Tenemos
Para la derivada del vector rotación
y la aceleración absoluta del centro del disco
Energía cinética y momento angular del disco
El momento angular del disco respecto del centro de masas es
Usando la base "0"
con . Entonces
Trasladamos el momento angular al punto
donde la cantidad de movimiento del disco es
Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas
Desvinculación global del disco en el centro de masas
Por cada componente nula de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto hay que poner una componente no nula de la reducción vincular. Pero además aparece en dos componentes de la reducción cinemática, indicando que hay un vínculo interligado, por lo que hay que añadir una componente en la fuerza de ligadura y otra en el par de ligadura. Tenemos
Las componentes y son las que corresponden al vínculo interligado.
Ahora tenemos 7 incógnitas:
El Teorema de la Cantidad de Movimiento nos proporciona 3 ecuaciones escalares. El Teorema del Momento Cinético nos da otras 3. La ecuación que falta viene de que el vínculo no realiza trabajo, es decir
Ahora tenemos 7 ecuaciones para siete incógnitas.
Integrales del movimiento
Hay tres integrales del movimiento, una por cada grado de libertad.
Energía mecánica
Las fuerzas activas que actúan son el peso y la fuerza elástica del muelle, ambas conservativas. Las fuerzas vinculares no realizan trabajo, por tanto la energía mecánica se conserva. La energía potencial gravitatoria es constante, pues el centro del disco no cambia de altura. Sólo cuenta la energía potencial elástica. Tenemos
La energía mecánica es
El valor lo obtenemos de las condiciones iniciales
Componente del momento angular en sobre el eje
El peso y la fuerza vincular de la barra sobre el disco son paralelas al eje , y las fuerzas del muelle y vincular en lo cortan. Entonces tenemos
Otra forma de ver esta integral primera es trasladar la reacción vincular sobre del disco desde el punto hasta el punto . La resultante de fuerzas vinculares no cambia, mientras que el par es
La última componente es cero a causa de la condición de potencia nula del vínculo interligado. Entonces la componente del momento angular en sobre el eje vertical se conserva, pues no hay par en esa dirección.
Momento angular de rotación propia
Si aplicamos el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas tenemos
Ahora bien, el momento de la reducción vincular global en no tiene componente en . Entonces la componente de sobre ese eje se conserva.
El valor de la constante se obtiene de las condiciones iniciales.
Uso de la mecánica analítica
Una forma alternativa de ver estas dos últimas integrales primeras es aplicar los métodos de la mecánica analítica.
Llegados a este punto del problema, es inmediato escribir la Lagrangiana del sistema
Al hacerlo se observa que tanto como son cíclicas, por tanto sus momentos generalizados se conservan. Esos momentos generalizados son las dos componentes de momento angular conservadas.