Disco deslizando por barra horizontal con muelle, MR Dic 2016/17

Enunciado

El disco plano de la figura, (sólido "2", masa $m$, radio $R$) desliza sin rozamiento sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano $OX_{1}Y_{1}$, rota alrededor el eje $OZ_{0}$. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $R$ conecta el punto $O$ con el centro del disco. En el instante inicial se tiene $s(0)=2R$, ${\dot {s}}(0)=0$, $\phi (0)=0$, ${\dot {\phi }}(0)=\omega _{0}$, ${\dot {\theta }}(0)=0$.

1. Determina la reducción cinemática del centro de masas del sólido "2" (punto $G$) en su movimiento absoluto, así como su derivada temporal.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética del disco, así como su momento cinético respecto a $O$.
3. Haz la desvinculación global del disco en su centro de masas. Indica cuantas incógnitas hay en el problema y que ecuaciones usarías para resolverlo (no hace falta escribir las ecuaciones)
4. Encuentra y escribe dos integrales primeras del movimiento.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad \qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Calculamos también la velocidad en el centro del disco.

${\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}=s{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Hemos usado

${\overrightarrow {OG}}=s\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Calculamos la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0}.$

Hemos usado que ${\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}$. El punto $O$ es un punto fijo del movimiento en todo instante, por tanto

${\vec {v}}_{01}^{\,O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Calculamos la aceleración del centro del disco en este movimiento

${\vec {a}}_{01}^{\,G}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}})=[-s{\dot {\phi }}^{2},\,s{\ddot {\phi }},\,0]_{0}.$

Movimiento {20}

Reduciendo en el centro del disco

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0},\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\dot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Calculamos la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Para la aceleración del punto $G$ es

${\vec {a}}_{20}^{\,G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Movimiento {21}

Aplicamos la composición {21}={20}+{01}. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=[{\dot {\theta }},0,{\dot {\phi }}]_{0},\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=[{\dot {s}},s{\dot {\phi }},0]_{0}.\end{array}}$

Para la derivada del vector rotación

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=[{\ddot {\theta }},\,{\dot {\theta }}{\dot {\phi }},\,{\ddot {\phi }}]_{0}.$

y la aceleración absoluta del centro del disco

${\vec {a}}_{21}^{\,G}={\vec {a}}_{20}^{\,G}+{\vec {a}}_{01}^{\,G}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=[{\ddot {s}}-s{\dot {\phi }}^{2},\,s{\ddot {\phi }}+2{\dot {s}}{\dot {\phi }},\,0]_{0}.$

Energía cinética y momento angular del disco

El momento angular del disco respecto del centro de masas es

${\vec {L}}_{G}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}.$

Usando la base "0"

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/2\end{array}}\right]_{0}$

con $I=mR^{2}/2$. Entonces

${\vec {L}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/2\end{array}}\right]_{0}\left[{\begin{array}{c}{\dot {\theta }}\\0\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right]_{0}=[I{\dot {\theta }},0,I{\dot {\phi }}/2]_{0}$

Trasladamos el momento angular al punto $O$

${\vec {L}}_{O}={\vec {L}}_{G}+{\vec {C}}\times {\overrightarrow {CG}}=[I{\dot {\theta }},0,(ms^{2}+I/2){\dot {\phi }}]_{0}.$

donde la cantidad de movimiento del disco es

${\vec {C}}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=[m{\dot {s}},ms{\dot {\phi }},0]_{0}.$

Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{2}1={\dfrac {1}{8}}m\,\left(4{\dot {s}}^{2}+2R^{2}{\dot {\theta }}^{2}+(R^{2}+4s^{2}){\dot {\phi }}^{2}\right).$

Desvinculación global del disco en el centro de masas

Por cada componente nula de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $G$ hay que poner una componente no nula de la reducción vincular. Pero además ${\dot {\phi }}$ aparece en dos componentes de la reducción cinemática, indicando que hay un vínculo interligado, por lo que hay que añadir una componente en la fuerza de ligadura y otra en el par de ligadura. Tenemos

${\vec {\Phi }}_{21}=[0,\Phi _{y},\Phi _{z}]_{0},\qquad \qquad {\vec {\Gamma }}_{21}^{\,G}=[0,\Gamma _{y},\Gamma _{z}]_{0}.$

Las componentes $\Phi _{y}$ y $\Gamma _{z}$ son las que corresponden al vínculo interligado.

Ahora tenemos 7 incógnitas:

$\{s,\,\theta ,\,\phi ,\,\Phi _{y},\,\Phi _{z},\,\Gamma _{y},\,\Gamma _{z}\}.$

El Teorema de la Cantidad de Movimiento nos proporciona 3 ecuaciones escalares. El Teorema del Momento Cinético nos da otras 3. La ecuación que falta viene de que el vínculo no realiza trabajo, es decir

${\vec {\Phi }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,G}+{\vec {\Gamma }}_{21}^{\,G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=0\Longrightarrow s\Phi _{y}+\Gamma _{z}=0.$

Ahora tenemos 7 ecuaciones para siete incógnitas.

Integrales del movimiento

Hay tres integrales del movimiento, una por cada grado de libertad.

Energía mecánica

Las fuerzas activas que actúan son el peso y la fuerza elástica del muelle, ambas conservativas. Las fuerzas vinculares no realizan trabajo, por tanto la energía mecánica se conserva. La energía potencial gravitatoria es constante, pues el centro del disco no cambia de altura. Sólo cuenta la energía potencial elástica. Tenemos

$U={\dfrac {1}{2}}k\,(s-R)^{2}$

La energía mecánica es

$E=T+U={\dfrac {1}{8}}m\,\left(4{\dot {s}}^{2}+2R^{2}{\dot {\theta }}^{2}+(R^{2}+4s^{2}){\dot {\phi }}^{2}\right)+{\dfrac {1}{2}}k\,(s-R)^{2}$

El valor lo obtenemos de las condiciones iniciales

$E=T(t=0)+U(t=0)={\dfrac {17}{8}}mR^{2}\omega _{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}kR^{2}$

Componente del momento angular en $O$ sobre el eje $OZ_{1}$

El peso y la fuerza vincular de la barra sobre el disco son paralelas al eje $OZ_{1}$, y las fuerzas del muelle y vincular en $O$ lo cortan. Entonces tenemos

${\vec {L}}_{Oz}={\vec {L}}_{O}\cdot {\vec {k}}_{0}=\left(ms^{2}+{\dfrac {1}{2}}I\right)\,{\dot {\phi }}=\mathrm {cte} ={\dfrac {17}{4}}mR^{2}\omega _{0}.$

Otra forma de ver esta integral primera es trasladar la reacción vincular sobre del disco desde el punto $G$ hasta el punto $O$. La resultante de fuerzas vinculares no cambia, mientras que el par es

${\vec {\Gamma }}_{21}^{\,O}={\vec {\Gamma }}_{21}^{\,G}+{\vec {\Phi }}_{21}\times {\overrightarrow {GO}}=[0,\,\Gamma _{y}-\Phi _{z}s,\,\Gamma _{z}+\Phi _{y}s]_{0}=[0,\,\Gamma _{y}-\Phi _{z}s,\,0]_{0}$

La última componente es cero a causa de la condición de potencia nula del vínculo interligado. Entonces la componente del momento angular en $O$ sobre el eje vertical se conserva, pues no hay par en esa dirección.

Momento angular de rotación propia

Si aplicamos el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas tenemos

${\dot {\vec {L}}}_{G}={\vec {M}}_{neta}^{\,G}.$

Ahora bien, el momento de la reducción vincular global en $G$ no tiene componente en $GX_{0}$. Entonces la componente de ${\vec {L}}_{G}$ sobre ese eje se conserva.

${\vec {L}}_{G}^{X_{0}}={\vec {L}}_{G}\cdot {\vec {\imath }}_{0}=I{\dot {\theta }}=\mathrm {cte} =0.$

El valor de la constante se obtiene de las condiciones iniciales.

Uso de la mecánica analítica

Una forma alternativa de ver estas dos últimas integrales primeras es aplicar los métodos de la mecánica analítica. Llegados a este punto del problema, es inmediato escribir la Lagrangiana del sistema

$L=T-U.$

Al hacerlo se observa que tanto $\Phi$ como $\theta$ son cíclicas, por tanto sus momentos generalizados se conservan. Esos momentos generalizados son las dos componentes de momento angular conservadas.