Cuerda sobre disco de radio variable

Enunciado

Un punto material $P$ pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo $R(t)=R_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$ en el intervalo $0\leq t\leq \pi /2\omega$ ($R_{0}$ y $\omega$ son constantes conocidas), y centrada en el origen $O$ de un sistema de referencia cartesiano $OXY$ . La longitud total del hilo es $l=\pi R_{0}/2$, y su otro extremo se halla fijo en un punto $A$, tal que ${\overrightarrow {OA}}=R_{0}\,{\vec {\jmath }}$ (ver figura). Determina:

1. Las ecuaciones horarias cartesianas del punto $P$ , y su posición final en el instante final $t_{f}=\pi /2\omega$.
2. Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
3. La aceleración normal de $P$ y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

Solución

Ecuaciones horarias del punto P

Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto $P$. Podemos construir ese vector de la siguiente manera

${\vec {r}}_{P}={\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}$

Para el vector ${\overrightarrow {OC}}$ tenemos

${\overrightarrow {OC}}=R(t)\,{\vec {\imath }}=R_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}$

Para el vector ${\overrightarrow {CP}}$ tenemos

${\overrightarrow {CP}}=-|{\overrightarrow {CP}}|\,{\vec {\jmath }}$

El módulo $|{\overrightarrow {CP}}|$ es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento ${\overline {AB}}$ y del arco ${\stackrel {\frown }{BC}}$. Los puntos $A$, $B$ y $C$ están indicados en la figura.

En la figura vemos los ángulos $\theta$ y $\alpha$, con

$\alpha ={\dfrac {\pi }{2}}-\theta$

Del triángulo rectángulo $OBA$ tenemos

$\cos {\alpha }={\dfrac {R(t)}{R_{0}}}=\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Por otro lado

$\cos {\alpha }=\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\mathrm {sen} \,\theta$

Igualando las dos expresiones obtenemos

$\theta =\omega t$

La longitud del segmento ${\overline {AB}}$ es

${\overline {AB}}=R_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha =R_{0}\cos \theta =R_{0}\cos(\omega t)$

Mientras que la longitud del arco es

${\stackrel {\frown }{BC}}=\theta \,R(t)=R_{0}\,\omega t\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Por tanto, el módulo $|{\overrightarrow {CP}}|$ es

$|{\overrightarrow {CP}}|=l-R_{0}\cos(\omega t)-R_{0}\,\omega t\,\mathrm {sen} \,(\omega t)=R_{0}\,\left({\dfrac {\pi }{2}}-\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\right)$

Y el vector de posición de la partícula es

${\overrightarrow {OP}}(t)=R_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}-R_{0}\,\left({\dfrac {\pi }{2}}-\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\right)\,{\vec {\jmath }}$

En el instante $t_{f}=\pi /2\omega$ el valor de este vector es

${\overrightarrow {OP}}(t_{f})=R_{0}\,{\vec {\imath }}$

Velocidad y aceleración

La velocidad es la derivada respecto del tiempo del vector de posición

${\vec {v}}_{P}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=R_{0}\,\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R_{0}\omega ^{2}t\cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}$

La aceleración es la derivada respecto del tiempo del vector velocidad

${\vec {a}}_{P}={\dot {\vec {v}}}=-R_{0}\omega ^{2}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}+R_{0}w^{2}\,(\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm {sen} \,(\omega t))\,{\vec {\jmath }}$

Radio de curvatura

El radio de curvatura en cada punto de la trayectoria es

$R_{\kappa }={\dfrac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{N}}}$

Como tenemos el vector velocidad expresado en una base cartesiana, podemos calcular su módulo

$|{\vec {v}}(t)|=R_{0}\omega {\sqrt {1+\omega ^{2}t^{2}}}\cos(\omega t)$

La aceleración normal es

$a_{N}={\dfrac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}{|{\vec {v}}|}}={\dfrac {R_{0}\omega ^{2}\cos(\omega t)}{\sqrt {1+\omega ^{2}t^{2}}}}$

Con lo que el radio de curvatura es

$R_{\kappa }(t)=R_{0}\,\left(1+w^{2}t^{2}\right)^{3/2}\cos(\omega t)$

La posición del centro de curvatura en cada instante es

${\vec {r}}_{\kappa }(t)={\overrightarrow {OP}}+R_{\kappa }{\vec {N}}$

Nos lo piden sólo en el instante inicial, así que sólo tenemos que calcular el vector normal en el instante inicial. El vector normal es

${\vec {N}}={\dfrac {{\vec {a}}-a_{T}{\vec {T}}}{a_{N}}}$

En el instante inicial tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}(0)=-R_{0}\,\left({\dfrac {\pi }{2}}-1\right)\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {v}}_{P}(0)=R_{0}\omega \,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {a}}_{P}(0)=R_{0}\omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}\\\\a_{N}(0)=R_{0}\omega ^{2}\\\\R_{\kappa }(0)=R_{0}\end{array}}$

En ese instante el vector tangente es

${\vec {T}}(0)={\vec {\imath }}$

La aceleración tangencial es

$a_{T}(0)={\vec {a}}(0)\cdot {\vec {T}}(0)=0$

Por tanto el vector normal es

${\vec {N}}(0)={\dfrac {\vec {a}}{a_{N}}}={\vec {\jmath }}$

El vector de posición del centro de curvatura en ese instante inicial es

${\vec {r}}_{O_{\kappa }}(0)={\dfrac {4-\pi }{2}}\,R_{0}\,{\vec {\jmath }}$

Este punto está sobre el eje $OY$, un poquito por encima del origen.