(Página creada con «= Enunciado = == Movimientos en 2D y 3D == Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes #<math>\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} </math>, con <math>R</math> y <math>\omega</math> constantes. #<math>\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,…»)
Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las
curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes
horarias siguientes
, con y constantes.
, con , y constantes.
, con y constantes.
, con y constantes.
con ,
y constantes.
Solución
Caso 1
La velocidad es
La rapidez es
El desplazamiento elemental
La aceleración es
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
Vemos que
Es una circunferencia de radio centrada en el origen.
Caso 2
El vector de posición puede escribirse así
Sólo el primer factor depende del tiempo.
La velocidad es
La rapidez es
El desplazamiento elemental
La aceleración es
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
Vemos que
Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente . Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante
Caso 3
La velocidad es
La rapidez es
El desplazamiento elemental
La aceleración es
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
Despejando en la primera y sustituyendo en la segunda vemos que
Es una parábola con la concavidad hacia arriba
Caso 4
La velocidad es
La rapidez es
El desplazamiento elemental
La aceleración es
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
Tomando el cuadrado de los dos vemos que
Sumando los dos
Es una circunferencia de radio centrada en el origen. Pero
sólo puede ser positiva
Caso 5
La velocidad es
La rapidez es
El desplazamiento elemental
La aceleración es
Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita.
Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
Las componentes y se comportan igual que las del
apartado 1. Entonces, la proyección de la trayectoria sobre el plano
es una circunferencia de radio centrada en el
origen. Por otro lado, la componente crece linealmente con el
tiempo. Es decir, a la vez que la partícula da vueltas alrededor del eje
avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el
nombre de hélice.