Barra deslizante en armazón rotatorio

Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0} (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}$, de tal modo que el eje $OX_{0}$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje $OX_{0}$, mientras que su extremo $B$ desliza a lo largo del eje $OZ_{0}$. Utilizando los ángulos $\theta$ y $\varphi$ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. ${\vec {v}}_{01}^{A}$, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$.
2. ${\vec {v}}_{01}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$.
3. ${\vec {\alpha }}_{21}$, ${\vec {a}}_{21}^{A}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$.

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

Velocidades de A

Movimiento de arrastre {01}

En su movimiento como punto del armazón, el punto A se encuentra rotando alrededor del eje $OZ_{0}$. Su velocidad instantánea es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}}

La velocidad angular de este movimiento la da la derivada temporal del ángulo que forman los dos ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0}

mientras que la posición instantánea de A es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0}

lo que nos da la velocidad de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0) = L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}

Movimiento relativo {20}

El punto A de la barra se desliza a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} . Puesto que conocemos su posición en todo momento, podemos hallar su velocidad simplemente derivando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^A_{20}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0\,\,\,\,\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^A_{20}\right)\right|_0=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0}

Movimiento absoluto {21}

Una vez que tenemos las velocidades de arrastre y relativa, la velocidad absoluta la calculamos sumando las dos anteriores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}

Velocidades de B

Las velocidades de B son incluso más fáciles de calcular que las de A.

Velocidad de arrastre {01}

El punto B se encuentra en el propio eje (permanente) de rotación, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01}=\vec{0}}

Velocidad relativa {20}

De nuevo se trata de un deslizamiento, que podemos hallar derivando la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^B_{20}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_0\,\,\,\,\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^B_{20}\right)\right|_0=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0}

Velocidad absoluta {21}

Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0}

Aceleraciones

Aceleración angular

Para hallar la aceleración angular absoluta emplearemos la fórmula de composición de aceleraciones angulares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}}

En el movimiento de arrastre tenemos una rotación en torno a un eje permanente de rotación, con velocidad angular dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0}

La aceleración angular de este movimiento es la derivada temporal de esta velocidad, calculada en el sistema 1. Este valor coincide con el calculado en el sistema 0 ya que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} es el mismo para los dos sistemas en todo instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_0=\vec{k}_1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\ddot{\varphi}\vec{k}_0}

En realidad, el resultado es más general y la derivada de una velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} calculada en el sistema 0 coincide siempre con la hallada en el sistema 1:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_1 = \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0+\overbrace{\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{01}}^{=\vec{0}} =\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0}

Para el movimiento relativo, el cálculo es similar. La velocidad angular la da la variación del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} que forman de manera continua la barra horizontal del armazón “0” y la barra “2”. La dirección y el sentido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} los da la regla de la mano derecha, observando para donde gira la barra “2” cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} aumenta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\dot{\theta}\vec{\jmath}_0}

Derivando aquí respecto al tiempo en el sistema “0” obtenemos la aceleración angular relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0}

La aceleración angular absoluta la obtenemos sustituyendo en la fórmula de composición de aceleraciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0+(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(\dot{\theta}\vec{\jmath}_0) = -\dot{\theta}\dot{\varphi}\vec{\imath}_0+\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0}

Aceleración de A

El teorema de Coriolis nos da la aceleración angular absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}}

Veamos cada término por separado:

Aceleración relativa {20}

Puesto que conocemos el movimiento de A sobre la barra, podemos calcular la aceleración de A derivando su velocidad relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = (-L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_0}

Aceleración de arrastre {01}

Al tratarse de una rotación permanente en torno a un eje que pasa por O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{01}=\vec{0}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}=(\ddot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0)=L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0}

lo que da la aceleración de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{01}=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0+L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}

Término de Coriolis

Por último tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}=2(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0) = -2L\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0}

Sumando las tres contribuciones obtenemos la aceleración absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=-L\left(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2)\cos(\theta)\right)\vec{\imath}_0+L\left(\ddot{\varphi}\cos(\theta)-2\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}_0}

Aceleración de B

La aceleración absoluta de B es más sencilla de calcular que la de A. El teorema de Coriolis nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21} = \vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}}

Sin embargo, la aceleración de arrastre de B es nula, por encontrarse este punto sobre un eje permanente de rotación. Además, la velocidad relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}} es a lo largo del eje Z y por tanto paralela a la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} , por lo que también el término de Coriolis se anula y la aceleración absoluta coincide con la relativa.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}}

A su vez, la aceleración relativa se calcula derivando la velocidad, pues conocemos la posición de B en todo momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_0}

También podíamos haber dicho directamente que conocemos la posición de B en el sistema 1 y derivar esta expresión respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^B_{21}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_1}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_1}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_1}