Bola en canal circular

Enunciado

Una bola (sólido “2”), de radio $R=15\,\mathrm {cm}$, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios $a=7\,\mathrm {cm}$ y $b=25\,\mathrm {cm}$, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que:

• en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y
• su centro C realiza un movimiento circular uniforme con celeridad $v_{0}=48\,\mathrm {cm} /\mathrm {s}$ y en sentido antihorario respecto al eje O$_{1}$Z$_{1}$.

Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido $0$) al plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$ que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

1. Halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
2. Halle la reducción cinemática canónica de cada movimiento.
3. Para el punto de la pelota en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$.

Ejes de rotación

Movimiento {21}

El eje del movimiento {21} es fácil de identificar. Puesto que los puntos A y B están en reposo instantáneo en este movimiento, la recta que pasa por ellos es un eje instantáneo de rotación (EIR). No es un eje permanente, pues la posición de los puntos A y B en el sistema de referencia “1” va cambiando en el tiempo.

Movimiento {01}

Por ser coincidentes los ejes $O_{1}Z_{0}$ y $O_{1}Z_{1}$, cualquier punto del eje $O_{1}Z_{0}$, perteneciente al sólido 0, se encuentra en reposo respecto al sólido 1, por lo que este es un eje de rotación. Puesto que el eje es fijo en el triedro 1, se trata de un eje permanente de rotación.

Movimiento {20}

En este también podemos identificar dos puntos fijos. Uno es el origen común del sistema de ejes $O_{1}$. El otro es el centro de la esfera, C, que se encuentra situado siempre a la misma distancia de los ejes en el plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$. Se trata de un eje permanente de rotación, ya que la recta que pasa por los puntos $O_{1}$ y $C$ ocupa una posición fija en el triedro 0.

Reducciones de los movimientos

Movimiento {01}

Según hemos dicho, el movimiento del sólido 0 es una rotación permanente alrededor del eje $O_{1}Z_{1}$. La velocidad angular de este movimiento es de la forma

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}{\vec {k}}$

El módulo de esta velocidad angular lo obtenemos de que conocemos la rapidez del punto C y su distancia al eje $O_{1}Z_{1}$

$v_{01}^{C}=\omega _{01}d\,\,;\qquad d={\frac {a+b}{2}}\,\,\,\,\,$ ⇒  $\,\,\,\,\,\omega _{01}={\frac {2v_{01}^{C}}{a+b}}=3\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

La velocidad de deslizamiento en este movimiento es nula, por tratarse de una rotación pura.

Movimiento {21}

El movimiento {21} es también una rotación pura, por lo que su velocidad de deslizamiento es nula. La velocidad angular de este movimiento va en la dirección de la recta que pasa por A y B, que es el eje $O_{1}X_{0}$. Por ello

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {\imath }}_{0}$

El valor de esta componente lo obtenemos también de que conocemos la velocidad de C en este movimiento, ya que es igual a la anterior

${\vec {v}}_{21}^{C}=\overbrace {{\vec {v}}_{20}^{C}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}$

Tomando módulos

$v_{0}=|\omega _{21}|d_{2}\,\,;\qquad d_{2}={\sqrt {R^{2}-((b-a)/2)^{2}}}=12\,\mathrm {cm} \,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,|\omega _{21}|={\frac {v_{0}}{d_{2}}}=4\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

El sentido de la velocidad angular lo da la regla de la mano derecha, según la cual

${\vec {\omega }}_{21}=(-4\,{\vec {\imath }}_{0})\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Alternativamente, puede hallarse este vector a partir de la relación

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}C}}$

con

${\vec {v}}_{21}^{C}=48\,{\vec {\jmath }}_{0}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\,\,;$      ${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {\imath }}_{0}\,\,;$      ${\vec {O_{1}C}}=(16\,{\vec {\imath }}_{0}+12{\vec {k}}_{0})\,\mathrm {cm}$

Movimiento {20}

El movimiento relativo es también una rotación, por tener al menos un punto fijo (el origen común). La velocidad de deslizamiento de este sólido es nula. La velocidad angular la podemos obtener a partir de las que ya tenemos

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {\omega }}_{20}=(-4\,{\vec {\imath }}_{0}-3\,{\vec {k}}_{0})\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Este vector apunta en la dirección de la recta que pasa por $O_{1}\,$ y $C\,$, que identificamos anteriormente como la del eje instantáneo de rotación.

Velocidad y aceleración

Velocidad

En el movimiento {20} el punto B experimenta una rotación instantánea en torno al eje que pasa por $O_{1}\,$ y $C\,$. Por ello, su velocidad es

${\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{0}&{\vec {\jmath }}_{0}&{\vec {k}}_{0}\\-4&0&-3\\25&0&0\end{matrix}}\right|\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} }}=-75\,{\vec {\jmath }}_{0}\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} }}$

A este misma vector se puede llegar hallando la rapidez simplemente multiplicando el módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR

$\omega _{20}={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=5\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$    $d_{B}=R=15\,\mathrm {cm}$    $\omega _{20}d_{B}=75\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

y asignando la dirección y el sentido según la regla de la mano derecha.

Aceleración

La aceleración del punto B en el movimiento absoluto {21} la podemos obtener aplicando la expresión del campo de aceleraciones de un sólido

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})$

La aceleración ${\vec {a}}_{21}^{O_{1}}$ es nula, por tratarse $O_{1}\,$ de un punto fijo. También se anula el último término, ya que por estar $O_{1}\,$ y $B\,$ en el EIR del movimiento {21}, el vector de posición relativo es paralelo a la velocidad angular. La aceleración se reduce entonces a

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}$

La aceleración angular del movimiento absoluto la calculamos como composición del movimiento relativo y del de arrastre

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

La aceleraciones angulares relativa y de arrastre son las dos nulas, por tratarse de sendas rotaciones sobre ejes permanentes a velocidad angular constante.

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}$  ${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}$

Queda entonces

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=(\omega _{01}{\vec {k}}_{0})\times (\omega _{21}{\vec {\imath }}_{0}-\omega _{01}{\vec {k}}_{0})=\omega _{01}\omega _{21}{\vec {\jmath }}_{0}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {\alpha }}_{21}=-12{\vec {\jmath }}_{0}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y llevando esto a la ecuación de la aceleración del punto B

${\vec {a}}_{21}^{B}=(-12{\vec {\jmath }}_{0})\times (25{\vec {\imath }}_{0})\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} ^{2}}}=300{\vec {k}}_{0}\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} ^{2}}}$